Black-Scholes 模型中 d1，d2 是怎麼得到的？如何理解 Black-Scholes 模型？

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樓上回答很棒很全面很傳統。提供一個全新的解釋，沒怎麼在國內教材出現過。

請觀察BS的公式： $C=e^{-delta t}S imes N(d_{1})-e^{r t}K imes N(d_{2})$

右邊有SN(d1)的項，其實是一個「asset or nothing」期權的價格。這種期權很少交易，但是現實世界（一般是OTC市場）確實存在。如果你持有這種期權，到期後有兩種情況：若股價超過約定的價格，你就拿走一股股票；股價低於約定的價格，你只能什麼都不拿。

左邊有KN(d2)的項，其實是一個「Cash or nothing」期權的價格。與「asset or nothing」期權不同的是，這種期權直接給你現金而不是實體股票。這一項前面的負號表示空。

所以，一手Call的價格，其實相當於兩個這麼奇葩期權的組合：多一手「asset or nothing」期權和空一手」Cash or nothing」期權（兩者的行權價一樣，都是公式里的K）。持有這兩個期權的組合，和持有一手Call，到期後的效果一模一樣，故他們的價格也應該一模一樣。

很有意思吧？這兩種期權就是所謂的「奇異期權」，都屬於binary option大類。一般是投行各在賣，提供給投機者、對沖者、資產管理機構，比一般的歐式期權價格稍便宜，槓桿也相應高。

花旗的這個衍生品部門有專門搞這些東西的
https://americas.citifirst.com/EN/showpage.aspx?pageID=97

這個網站則是典型的用binary option來騙人的類賭博網站
Binary Options

偏題了哈哈。這些了解就好，先打好基礎。

對於第一個問題，我們先來看看BS模型是怎麼推導出來的。

推導BS模型對於數學的要求比較高，本文將略過較「數學化」的證明，僅寫出這些內容的用法、結論和意義。

推導前應該知道的知識：

鞅(martingale)：在風險中性測度下，股票的折現價值為鞅。你只需知道 $Eleft( e^{-(r-delta )t}S_{T} ight) =S_{0}$ 對任意時刻都成立，r是利潤率， δ是股票分紅， $S_{t}$ 是股票在t時刻的價格。
隨機微積分(Itō calculus)： $df(t,W(t))=left( frac{partial f}{partial t}+frac{1}{2}frac{partial^2 f}{partial W^2} ight) dt+frac{partial f}{partial W}dW$ ，W(t)是布朗運動。（僅把它當做一種計算方式）

現在我們開始推導BS模型下的股票價格。
BS模型假設股票價格符合以下隨機微分方程： $d S_{t}=mu S_{t} dt+sigma S_{t} dW_{t}$ .
由隨機微積分，解出 $S_{t}=S_{0}e^{left[ left( mu -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma W_{t} ight] }$ .（感興趣的同學可以對其微分驗證一下）
再由鞅的性質 $Eleft( e^{-(r-delta )t}S_{T} ight) =S_{0}$ ，解出 $mu =r-delta$ .
所以，BS模型下股票的價格服從 $S_{t}=S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma W_{t} ight] }$ .

接下來就是推導期權價格了，本文將僅推導看漲期權(Call Opiton)，看跌期權類似。

在風險中性測度下，看漲期權的價格為 $E(e^{-rt} imes (S_{t}-K)_{+})$ ，其中 $(X)_{+}$ 在X&>0時為X，其餘為0.
$W_{t}sim N(0,t)$ ,所以 $W_{t}=sqrt{t} imes N(0,1)=sqrt{t} imes x$ （這裡寫得在數學上不太嚴謹，不過直覺上理解沒問題）

所以期權價格就是 $E(e^{-rt} imes (S_{t}-K)_{+})=int_{-infty }^{infty } e^{-rt} imes(S_{t}-K)_{+} varphi (x)dx=int_{-infty }^{infty } e^{-rt} imes(S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma sqrt{t} x ight] }-K)_{+} varphi (x)dx$ , $varphi (x)$ 是標準正態分布。

接下來的事情有點複雜，我們整理一下思路。

首先，我們要去掉 $(X)_{+}$ ，想把它變為正常運算。
去掉後，我們要證明前半部分(含S)的項是 $e^{-delta t}S imes N(d_{1})$ ，後半部分(含K)的項是 $-e^{-rt}K imes N(d_{2})$

只有t時刻股票價格高於K才不為0，所以積分區間可以轉變為 $S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma sqrt{t}x ight] }>K Rightarrow x>frac{ln(K/S_{0})-( r-delta -frac{sigma ^2}{2})t}{sigma sqrt{t} } =-d_{2}$ （d2出現了）
因此， $E(e^{-rt} imes (S_{t}-K)_{+})=int_{-d2 }^{infty } e^{-rt} imes(S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma sqrt{t}x ight] }-K) varphi (x)dx$ .
積分右半邊就沒有問題了， $int_{-d2 }^{infty } e^{-rt}-K varphi (x)dx=-e^{-rt}K imes N(d_{2})$
至於左半邊，我們用配方法，把對x的積分轉變為對 $x-sigma sqrt{t}$ 的積分，就可以得到新的積分區間 $(-d_{2}-sigma sqrt{t} ,infty )=(-d_{1},infty)$ （d1出現了）
積分左半邊也是相同的道理， $int_{-d_2 }^{infty } e^{-rt} imes S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma sqrt{t}x ight] } varphi (x)dx=int_{-d_{1} }^{infty } e^{-delta t}S varphi (x)dx=e^{-delta t}S imes N(d_{1})$ .
於是我們就得到了BS公式： $C=e^{-delta t}S imes N(d_{1})-e^{-r t}K imes N(d_{2})$ .

對於第二個問題，我們思考d1和d2的意義。

N(d2)是在風險中性測度下，期權被執行的概率。
這點應該很容易理解，畢竟在上述積分推導中，當我們要求St&>K時，我們就推出x&>-d2。x是標準正態分布，所以St&>K的可能性就是N(d2)

關鍵在於如何理解N(d1)。
在BS後續討論中，我們討論到一個重要希臘字母——△(delta).
$Delta =frac{partial C}{partial S} =N(d_1)$ .(對於沒有分紅的情況),△衡量了當股票價格有小變動時期權價格變化。
delta在後面有很重要的意義，但是我在此就不贅述了。

總的來說，d1描述期權對股價的敏感程度，d2描述期權最後被執行的可能性。
更深一步來說，N(d1)是在風險中性測度下，按股價加權得到的期權被執行的可能性，N(d2)是在風險中性條件下，（不按股價加權）得到的期權被執行的可能性。

更新：
對於本文最後一句話的理解@張棟說得很好，推薦給大家。
本文有兩處筆誤，實在抱歉。感謝@Hsi Wang指出，已修改。

更深一步來說 N(d1)是在風險中性測度下，按股價加權得到的期權被執行的可能性，N(d2)是在風險中性條件下，（不按股價加權）得到的期權被執行的可能性

最後一句話有好多故事要說啊

考慮如果你去買一個期權，一種是Asset-or-Nothing,一種是Cash-or-Nothing。同時假設 $S_0 = K$

很多時候，我們看到，N(d2)是在風險中性測度下的ITM概率。這個是相對好理解的：
對於一個Cash-or-Nothing, strike at K. 因為是風險中性，所以現在的價格就是期望價格，所以 $P = P{ITM}K = Kcdot N(d_2)$

但是如果對於一個Asset-or-Nothing期權，（ $S_0 = K$ ）你願意付的錢還會是 $Kcdot N(d_2)$ 嗎？還是要比這個要多。我們直覺說：如果這個期權最後ITM的話，那麼他的價值一定要比 $K$ 大，因為strike at K。所以這個期權的價值一定要比 $Kcdot N(d_2)$ 大。而這個數值就是 $Kcdot N(d_1) = S_0 cdot N(d_1)$ .
「如果這個期權最後ITM的話，那麼他的價值一定要比 $K$ 大」這句話就是指在風險中性測度下，按照股價加權。

$N(d_1)$ 通常還被如下解釋：
n(d1) is also the ITM probably at expiry, but under the measure that uses the stock price as the numeraire. 參見 (Wilmott Forums)

我的理解是這樣子的：
在任何X-Numerarie下面，X自身就是一個Martingale. 比如風險中性測度下，折現未來價格就是Martingale.比如Forward測度下，Forward就是Martingale。所以在spot measure下，spot就是martingale,ie
$frac{C_0}{S_0} = mathbb{E}^{S_T} left[ frac{C_T}{S_T} ight] = mathbb{E}^{S_T} left[ frac{(S_T - K )^+}{S_T} ight] = mathbb{E}^{S_T} left[ (1 - frac{K}{S_T})^+ ight]$
所以
$C_0 = S_0 mathbb{E}^{S_T} [(1-frac{K}{S_T})^+]$
這裡 $C_0$ 是期權開始價格， $C_T$ 是期權最終價格。
所以我們看到 $N(d_1)$ 是在Spot measure下ITM概率。

最最後，一個直覺上的解釋就是：加權就是一種測度的轉化。參見Importance Sampling.
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update1
推導一下這句話：n(d1) is also the ITM probably at expiry, but under the measure that uses the stock price as the numeraire.
假設在風險中性測度下，有
$dS_t = r S_t dt + sigma S_t d W_t^Q$
ITM概率是
$mathbb{P}^{Q}{S_T > K} = N(frac{log(S/K)+(r-frac{1}{2}sigma^2)T}{sigma sqrt{T}})$

要想看在stock measure下，就需要把任何產品除以 $S_t$ ,然後找出martingale measure.
首先，股票自己St除以St一定是1，所以固然是個martingale.
另外一個產品就是money market。就是把錢存下去，記為M(t).
有 $dM(t) = rM(t)dt$ .

下面推導在Stock Measure下，M(t)的SDE. 首先
$egin{eqnarray} d frac{1}{S_t} = -frac{1}{S_t^2}dS_t + frac{1}{2}2frac{1}{S_t^3}dS_tdS_t\ =-frac{1}{S_t}left(rdt+sigma d W_t^Q ight)+ frac{sigma^2}{S_t}dt\ = -frac{1}{S_t}left[(r-sigma^2)dt + sigma d W_t^Q ight] end{eqnarray}$
$egin{eqnarray} dfrac{M_t}{S_t}=d left[M_tcdotfrac{1}{S_t} ight]=M_tdfrac{1}{S_t}+frac{1}{S_t}dM_t+dM_tdfrac{1}{S_t}\ =-frac{M_t}{S_t}left[(r-sigma^2)dt+sigma dW_t^Q ight]+rfrac{M_t}{S_t}dt\ = -frac{M_t}{S_t}sigmaleft[-sigma dt + d W_t^Q ight] end{eqnarray}$
顯然，如果在St measure下，上面這個表達應該是個martingale.所以有
$dW_t^{S_t} = -sigma d t + dW_t^Q$ .
所以有
$egin{eqnarray} dS_t = r S_t d t + sigma S_t d W_t^Q \ = r S_t d t + sigma S_t left[sigma d t + dW_t^{S_t} ight] \ = (r+sigma^2)S_t d t + sigma S_t d W_t^{S_t} end{eqnarray}$
上面St是在St measure下。

所以ITM probability就是
$egin{eqnarray} mathbb{P}^{S_t}{S_T > K} = N(frac{log(S/K)+left((r+sigma^2)-frac{1}{2}sigma^2 ight)T}{sigma sqrt{T}})\ =N(frac{log(S/K)+left(r+frac{1}{2}sigma^2 ight)T}{sigma sqrt{T}}) end{eqnarray}$

我在 Wikipedia 上邊看到了關於 $N(d_1)$ 的另一種解釋。 $N(d_1)$ 本質上也是期權被執行的概率，但是是在哪個測度下的概率呢？事實上，如果我們做計價單位變換(change of numeraire)，可以看到， $N(d_1)$ 是風險中性測度下，以股票為計價單位時，期權被執行的概率。相應的， $N(d_2)$ 就是在風險中性測度下，以現金賬戶為計價單位時，期權被執行的概率。

參考：http://en.wikipedia.org/wiki/Black%E2%80%93Scholes_model

而在一個風險中性的世界裡，未來帶有不確定性的現金流的數學期望值用無風險利率折現後的現值就應該是均衡定價

以上參考了鄭振龍老師的《金融工程》和宋逢明老師的《無套利均衡分析》，基本上只要把這兩本書的相關章節仔細閱讀一遍，就可以搞懂

另關於排版是因為word公式已排版好發現直接粘貼不能顯示，遂截圖··

最近在看CFA L2，好好把BS model研究了一下，現在說說我的理解。

按國外教材/樓上高票答案的理解：
N(d1)是在風險中性條件下，按股票計價時得到的期權被執行的可能性，N(d2)是在風險中性條件下，按貨幣計價時得到的期權被執行的可能性。
期權的價值是貨幣計價，現在假設是元。所以 $C=e^{-delta t}S imes N(d_{1})-e^{r t}K imes N(d_{2})$ ，第一項可以理解為到期時所能得到的貨幣價值，第二項可以理解為到期時所要付出的貨幣價值。所以期權的價值就是我們得到的價值減去付出的價值。

關於第二項，到期時付出的是Cash，單位是貨幣（元），貨幣計價是 K元。
到期時付出的價值（折現）應該是執行期權時付出的價值加上不執行期權時付出的價值，即 Ke^(-rt) × N(d2) + 0×（1-N(d2)） = Ke^(-rt) × N(d2)。但由於不執行期權時所付出的價值為0，所以到期時付出的價值也就等於到期時執行期權所付出的貨幣價值。

關於第一項，到期時得到的是1份股票，計價單位是股票，轉換成貨幣計價是1×S元。
到期時如果執行期權（S&>K)，則會把股票轉換成貨幣，這樣得到的貨幣價值是1×S×N(d1) , 如果不執行期權(S&K時，我才會選擇把股票轉換成貨幣，這時股票計價是1份股票，轉換成貨幣計價得到S元；如果股價太低，低於K，把股票轉換成貨幣是不划算的，所以會選擇不轉換成貨幣，這時股票計價仍是1份股票，但貨幣計價是0元。和期權out of money時同理，可以把1份「股票」理解成1份期權，「貨幣計價轉換」理解成期權的執行，只有S&>K,期權才會執行，即進行貨幣計價轉換，期權有價值，貨幣計價轉換後有價值。否則不會執行期權，即不進行貨幣計價轉換，期權價值為0，貨幣計價為0。所以N(d1)就是在股票計價時，期權執行的概率，它會隨著S的增大而增大）

因為不執行期權時，第一項和第二項的貨幣價值都是0。所以Call的價值就等於當期權執行時，所得到的貨幣價值減去所付出的貨幣價值，即

或者，根據CFA網課中老師的理解加上我自己的理解（有點不嚴謹，但可以大致參考理解下）

類比的是Forward的定價，P（forward）= S - Ke^(-rt)。Forward到期時是一定會執行，但期權不一定。

所以 $C=e^{-delta t}S imes N(d_{1})-e^{r t}K imes N(d_{2})$
Nd2描述的是期權執行的概率。
Nd1也就是Delta，描述的是股價變動對期權價值的影響。如果股價上漲1塊錢，期權價值的上漲幅度是1×N(d1) 。

關於第一項，我們計算的是期權的價值，而不是股票的價值。
如果計算的是股票價值，到期時價格為S，我們能得到的價值就是S（理解成S-0）。
但現在計算的是期權價值，應乘以N(d1) ，也就是S×N(d1) （理解成（S-0）×N（d1）），即在Forward公式第一項乘以N(d1) 。

關於第二項，Ke^(-rt) 乘以 N(d2) 就是當期權執行時付出的期權價值，即在Forward公式第二項乘以N(d2) 。

所以Call的價值就等於當期權執行時，所得到的期權價值減去所付出的期權價值。

學了幾年BS model，今年終於好好研究了一下，如果有什麼錯誤，歡迎指正~~

其實 @姚岑卓的回答已經很清楚了，但是由於 @李適同學問了，我就再用最簡單的陳述大概再說一下，只以解釋Nd1和Nd2為目的，公式是隨便自己寫的，可能有地方不嚴謹，以call option為例，簡單來說，在風險中性測度下，未來收益的期望也就是期權的價格為，

因為當St&

你注意看最後一部分，K是strike price一個常數，e-rt是風險中性下的折現因子，這兩個都可以換到積分外，於是最後一項就變成，

積分裡面的含義是什麼呢，就是在t時刻，價格大於K的概率，也就是期權會執行的概率N(d2)，整個這一項也相當於一個binary option的價格，而第一項，相當於在股票價格為計價物的風險中性測度下的價格，樓上的同學也已經解釋的比較清楚了

有個紀錄片叫The Midas Formula講得很有趣，可以看看。

上面 @姚岑卓的回答給出了BS模型的鞅方法推導，這裡對他答案里的最後一句話做一個補充：

為什麼d1不等於d2？它們各自代表什麼含義？

看漲期權的價格可以寫為：

$C=e^{-r au}E^{Q}_{t}[S_{T}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)]-Ke^{-r au}E^{Q}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$

其中， $E^{Q}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$ 就是BS公式中的 $N(d_{2})$ ，即 風險中性測度下，期權被執行的概率。

然而注意到： $E^{Q}_{t}[S_{T}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)] eq S_{T}cdot E^{Q}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$

即 $e^{-r au}E^{Q}_{t}[S_{T}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)] eq S_{t}cdot E^{Q}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$

所以 $N(d_{1}) eq N(d_2)$

為了得到BS公式，下面需要對第一個概率做測度變換：

令 $frac{dQ^{s}}{dQ}=frac{S_{T}/S_{t}}{B_{T}/B_{t}}$ ，這裡的 $Q^{s}$ 可以稱為share measure

對第一個風險中性測度進行變換可得：

$e^{-r au}E^{Q}_{t}[S_{T}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)]=S_{t}E^{Q}_{t}[frac{S_{T}}{S_{t}}e^{-r au}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)]=S_{t}E^{Q}_{t}[frac{S_{T}/S_{t}}{B_{T}/B_{t}}cdot mathbf{1}(S_{T}>K)]=S_{t}E^{Q_{s}}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$

這裡的 $E^{Q_{s}}_{t}[mathbf{1}(S_{T}>K)]$ 就是 $N(d_{1})$ ，因此它的含義也很顯然了，Share Measure下，期權被執行的概率。

所以， $N(d_{1})$ 和 $N(d_{2})$ 分別是在兩種不同測度下期權被執行的可能性，兩個測度之間相差 $sigma sqrt{ au}$ 。

$S_{0}e^{left[ left( r-delta -frac{sigma ^2}{2} ight) t+sigma sqrt{t}x ight] }>K Rightarrow x>frac{ln(K/S_{0})-( r-delta -frac{sigma ^2}{2})}{sigma sqrt{t} } =-d_{2}$ （d2出現了）這個步驟中，右端的那個應該是少了一個t。

$int_{-d2 }^{infty } e^{-rt}-K varphi (x)dx=-e^{-rt}K imes N(d_{2})$ 與後面 $C=e^{-delta t}S imes N(d_{1})-e^{r t}K imes N(d_{2})$

N(d2)的係數前後不一致，希望樓主看一下。
不過總的來說，我看完之後就明白了。
最近看計量金融，這個公式才教。