為什麼圓周率 π 在各種物理數學公式裡面經常出現？

11-16

例如真空介電常數為什麼含有π？

樓上的回答大多是從物理的角度給出的, 我就從數學的角度來給出一個回答:

因為本質是, 泊松方程的開空間格林函數.
物理學中很多物理關係都涉及同一個方程
Poisson"s equation
$abla ^2 phi = -f$
這個方程在開空間中, 存在一個解析解
$phi (x) = int f(x$
其中, $G(x$ 是開空間的格林函數, 在三維情況下,
$G(x$
其中, $|x-x$
是空間中兩點的距離.
並且, 我們有
$abla^2 G(x,x$ (delta函數)

------------------------------背景介紹完畢--------------------------------

對於重力場來說, 如果給定一個連續的密度分布, 重力場勢滿足
$abla ^2 phi = - varepsilon ho(x)$
而空間中的每一點所受的重力加速度, 則由
$a = abla phi(x)$
來得到, 現在我們帶入格林函數, 並且在x處求梯度, 我們有
$a = abla_x int frac{varepsilon ho(x$
$frac{x-x$ 是對方向向量的單位化, 而這個也就是我們所熟知的萬有引力定理了.
--相同質量粒子之間有引力, 力度的大小與距離的平方成反比
其中 $frac{varepsilon}{4pi}$ 就是那個萬有引力常量.

對於靜電場力, 同樣的, 給定一個連續的電密度分布, 我們有:
$abla^2 E(x)= - epsilon e(x)$
靜電粒子受的靜電力加速度則由
$a=- abla E(x)$
給出, 此時, 我們使用剛才同樣的推導方法, 不難得到
$a = int frac{epsilon e(x$
也就是靜電場力: 相同粒子之間存在斥力, 力度的大小與距離的平方成反比.

對於電磁場或者流體裡面的渦旋流, 我們通常有一個稍微複雜點兒的關係:
給定一個連續的渦旋強度分布(或者電流強度分布), 存在一個流函數(stream function)
滿足
$abla^2 Psi(x) = -omega(x)$
使得我們的速度場（或者電磁力場）可表達為該流函數的curl( $abla imes$ )
$u(x)= abla_x imesintfrac{omega(x$
具體運算給大家留作練習(對右邊的積分在x處求curl), 其答案是
$u(x)=intfrac{omega(x$
也就是大家所知的右手旋轉定理. Biot-Savart law

而這也就是為什麼那麼多物理方程中, 都有那麼一個 $frac{1}{pi}$ 的原因, 因為格林函數是這些方程的基礎解,
而我們需要
$abla^2 G(x,x$
$int_Omega abla^2 G(x,x$

$frac{1}{4pi}$ 就由於對delta函數的歸一化需求應運而生了

參考:

Biot
Electrostatics
Gravitational potential
http://www.stanford.edu/class/math220b/handouts/greensfcns.pdf

說一種理解，可能有些尋常，但不一定能注意到
$pi$ 在很多時候是線度（面積，體積）和和角度（包括廣義的角度）之間的轉換的一個常數。
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看了這麼多答案，覺得大家說的都很有道理。在此總結一下。
感覺回答的最好的的確是現在最高票的 @張心欣。他的回答最直接的說明了為什麼有這麼多π。思路大概是：物理里有很多泊松方程，泊松方程可以用格林函數解，格林函數里有π。

另外一類回答和我的想法是一樣的，就是π是在線度和弧度轉換的一個常數。打開來說就是 @菜白的回答。這類回答的重點是在π是什麼上。也是一個好的角度。實際上@張心欣的回答中最後引入π是說π是一個歸一化常數。這稍微快了一點，物理中推導的時候是有一個球面去包圍一個點電荷，再讓球的半徑趨於0推出 $frac{1}{4pi}$ 這個歸一化常數的。（從數學的角度看這個推導可能不是十分嚴謹）所以π還是一個連接「直」和「彎」的常數。

再有一類回答就是正態分布。這個公式中的π可能就只是一個歸一化常數。可能是我才疏學淺，看不到更本質的東西，但也是一個很好的角度。

正態分布的前世今生

美國諾貝爾物理學獎得主費曼(Feymann)每次看到一個有π的數學公式的時候，就會問：圓在哪裡？

想到幾點，簡答一下：
1. 中心極限定理確立了正態分布的地位，而正態分布的表達式中含有 $pi$ ：

這樣在概率統計、物理量的測量上就很難繞開

這樣在概率統計、物理量的測量上就很難繞開 $pi$ 了。
2. 三角函數系的正交性和形式的簡潔將它與傅里葉級數緊密聯結在一起：

而後者在所有與時域有關的物理、數學領域如控制論、隨機過程、信號處理等方面都是密不可分的。

而後者在所有與時域有關的物理、數學領域如控制論、隨機過程、信號處理等方面都是密不可分的。
3. 然後，就是@董其平和 @菜白所提到的，三角函數系在偏微分方程的解中的廣泛出現。我認為這是和三角函數在微分運算上的良好性質（求導後仍為三角函數系）是分不開的。
4. 最後就是幾何學上的應用了。這一點顯而易見，無論數學還是物理，只要涉及空間，比如常見坐標系下討論方向、曲面等問題的時候，是很難避免使用三角函數的。而在這一點上， @zero 所說的旋轉對稱性，或者物理上的各向同性也是很多物理模型的建模基礎，比如高斯定理：

：）出現三角函數系，肯定就會出現 $pi$ 了。公式圖片均來自網路圖片，懶得打公式了。

因為推導這些常數的時候會用到一些幾何模型。而且很多物理量人為定義的時候，會限定一些特定條件的狀態，比如電流是單位時間流過單位面積的電荷量的數目。
真空介電常數是物理量在度量時引進的常數。根據麥克斯韋方程組，可推知真空介電常數與其它物理常數的關係。
而在麥克斯韋方程組中的

第一個方程表示真空中，通過球面電場強度的通量等於球面所包圍的電荷q。根據靜電場理論，點電荷的電場的等勢面是平行的球面，【這是根據庫侖定律得出的】。所以方程左面的積分項其實是電位移矢量的球面積分。
涉及到球面，最後得到的結果就有pi了

至於第一個問題為什麼很多公式中都有pi 可能的原因就是用到的推導方法或者是定義方法是涉及到球面積分啊或者是像@零hua所說的 涉及到從曲線到直線的轉化（或類似曲面到平面的轉化）等

補充
另外，樓下@董其平的回答給了我另外一個方向去解答，就是pi出現在級數中的情況。他列舉的無窮級數都是可以用傅里葉級數來表達的。而涉及到傅里葉級數變化一定會有正弦和餘弦函數，眾所周知，sinx的函數圖象是怎麼畫出來的。

所以，有pi有一定有圓。

稍微扯遠一點。
事實上，非整數，像 $pi$ 之類，或者連名字都沒有的無理數，出現在公式中（比如比例係數）才應該是一種「常態」。而整數的出現則通常意味著其中蘊含著更深刻的規律。
比如物理中，如果不偏不倚恰好出現了整係數，那通常會認為，會有如下可能的情況：（1）對稱性；（2）拓撲。可能還有更多，暫時想不起來。
因為如果缺少這些限制而「恰好」出現了一個整係數，這種fine tuning一般讓人難以接受，就像你扔個硬幣，硬幣立了起來。
$pi$ 定義為圓周長和直徑之比。如果這個值恰好為一個整數，比如3，那我們才應該下大工夫來考慮為什麼它「恰好」是3了。當它是3.1415926...的時候，那一切都很正常。

大自然就是如此和諧

x=kpi使exp(ix)取實數，也就是sin的根,而exp，sin很常見。

可以說π是「上帝視角」和「質點視角」之間的轉換吧！「上帝視角」是笛卡爾坐標系，「質點視角」是極坐標系。從這個觀點考慮π代表了從局部到全局的轉換。

樓里好幾位的回答都很好了，尤其是張心欣的回答，能夠從盤根錯節的物理森林中把泊松方程單獨揪出來，這位答主的 PhD in PDE 是實至名歸的。我在這裡插嘴是因為評論區中有不少朋友高呼看不懂。

π的高出鏡率緣於它是溝通「直」和「彎」的媒婆。

數學家和物理學家覺得世界太複雜，於是通過無限細分的方法，把彎的東西弄成圓，又同樣通過無限細分的方法，把圓掰直，這樣一來，世上很大一部分事情都可以簡化成大家喜聞樂見的「直」的觀點來理解了：線段是最簡單的一維「直」對象，三角形是最簡單的二維「直」對象，四面體是最簡單的三維「直」對象，等等……

喂，笑什麼笑，嚴肅點，我跟你說我們現在討論的不是性取向的問題！

大家好，我是來搗亂的。很多時候，像真空介電常數里的出現的pi並不本質，它只是為了某一個（或者某一類）計算最後得到一個比較好看的結果。比如在高斯制里，epsilon_0=mu_0=1！有人可能會吐糟了吧，sb啊你們，整出這麼詭異的單位幹啥子玩意。SI多好啊，跟我們生活密切相關。但是不幸的，整個天文學界都是在用高斯制，你有SI制人就不帶你玩。

現代物理中（就是說那些還在發展沒有成熟的領域）經常會出現幾套對於常數的不同的定義，出於不同的目的為了簡化不同計算的結果。大家寫文章都會先說一下：「我們用的是某某convention，跟那個誰誰不同的，大家注意下啊。但是我們是不會幫你們把結果換成他們的convention的，你們TM自己沒手不能自己換啊！「

扯了這麼多，只是想說，很多常數中出現的pi, 根號2，都是convention，不值得深究。

題主的問題是「為什麼圓周率π在各種物理數學公式裡面經常出現?」。
除了真空介電常數，類似的，「1+1/2^2+1/3^3+……」的結果裡面也有π，為啥？
其實不妨問一個類似的問題，為啥大部分數學物理公式都是二次方、三次方，而很少有高次方？
這兩個問題的本質是一樣的。
就是對世界如何抽象，如何模擬。
直線、圓是最簡單、最方便的一種工具。
出現二次方、三次方，π就很正常。

至於真空介電常數裡面出現的π，和單位制選取有關係，你要是用高斯單位制，就沒有π。

我們知道1+1/2^2+1/3^2+...=pi^2/6，這就是著名的Basel問題，同時這個問題還能計算隨機選擇兩個正整數，他們互質的概率。這些都和pi有關係，具體的可以看這篇文章
黎曼-zeta函數

@菜白的答案已經完整了，我的答案是給沒有數學基礎的人看的。

不知道第二章GIF會不會動。大量例圖見：

不知道第二章GIF會不會動。大量例圖見：球面波の畫像

你如此理解就好：在計算真空介電常數時，涉及到從曲線到直線的轉化，也就是計算圓的周長。
所以會涉及到Pi.

在我的印象里…我只學過真空中的介電常數，單擺實驗，向心運動里的角速度線速度周期的轉化，求天體密度，開普勒第三定律………

所以我們來梳理一下高中物理知識
物理1 直線運動與力
沒見過和π有關的東西
物理2 曲線運動萬有引力和能量守恆定律
1.角速度線速度周期轉化
2.開普勒第三定律求天體密度等等…
3.有一次考試算曲線一點的曲率好像用的是動能定理
物理3-1 電場磁場閉合電路歐姆定律
1.真空中的介電常數 ***/4kπd
2.電阻率計算…應該是有圓算截面
3.推倒q＝it的微觀表達式…
物理3-2 電磁場
1.圓周運動的各種計算…我也不多說了，滿滿的回憶
物理3-3 分子動理論還有gls熱力學定律
1.油膜法測分子直徑
2.幾個管子弄壓強的…主要是求△v…就是蓋鋁熱薩科波義爾定律那幾個兄弟…那個PV/Q＝c
物理3-4 單擺光，波激光電磁波相對論
1.Asin（ax+b）我就不多說了
2.T＝2π√l/g…我覺得應該和擺的角度有關，才會有π
3.sinC＝1/n一般直接取反三角函數…偶爾會遇到弧度制轉化

總結一下吧，我覺得物理里能用到和π有關的，一般與圓，橢圓，角度弧度制有關

數學業餘愛好者。不同意上面的回答。π的出現率高並不只是由於物理中涉及到如球形、圓形的假設相關。我覺得其中一個重要原因，在於π與三角函數密切相關（事實上圓周運動的射影就是簡諧運動）。
一般用方程來描述一個物理過程，而從微積分發明後，最直接的是用微分方程，然後求解。非線性的方程通常是指數或三角函數（從下面的微分方程通解公式看），我覺得這可以部分解釋π和e兩個常數出現頻率如此之高的現象。

很多無窮級數也涉及到π，如（wiki）：

與質數分布的關係（wiki）：兩個任意自然數是

與質數分布的關係（wiki）：兩個任意自然數是互質的概率是π^2/6

先想到這麼多，希望有興趣的討論一下。

圓，無處不在？

物理和數學都為了解決生活中的實際問題,我從歷史的角度分析一下.

對於直線的測量,和以直線構成的封閉圖形的面積/體積的計算,加減乘除就夠用了.

對於曲線,最簡單的就是圓,需要計算圓的周長和面積的時候,就會發現計算直線的辦法不能用了.不斷的發展中,最終用類似極限的方式計算出了周長和直徑的比率為π.

我一直很好奇,角度的單位為什麼常用π而不是一周360度?最近看了Larson的calculus才明白,在半徑為1的單位圓中,以半徑為斜邊的直角三角形中,以圓心為起點的銳角,其對應的圓弧的長度恰好是以π為單位的.也就是說古人此時最關心的是弧的長度,而不是角度.正好單位圓的周長就是2π.

所有學校的數學,都是按推理順序來講的,而不是按歷史出現順序講的,導致了很多理解上的問題.

回到本問題,由於歷史原因π方便表示弧長,演變為角度的單位.又因為三角函數是要重的一類基本函數得到廣泛的應用,故π也就出現在各種公式中.

π經常在各種物理數學公式中出現,因為是作為角度的單位,如果定義一個圓周的角度是1或者360的話,很多用π的地方就不需要了,但有些地方還是要用π,所以還不如全用π做角度單位更簡潔.

還記得初中時,幫助一位智力低於平均水平的同學,講什麼是開平方根.他執著的問我那個根號的符號為什麼是這個樣子.現在我知道了,那是radical首字母r的變形.

大自然在下一盤很大的棋

就我的理解給個簡單粗爆版吧

樓上大神們都說得非常清楚，像我們這樣的學渣就看個熱鬧。

1、人類理解自然原理的時侯就會藉助數學工具。

2、你應該見過這樣的圖像吧？

（一時不知去那找，借一下樓上的回答圖像，謝謝）

我們對自然界的物質理解一般都是藉助圖像去總結規律的，例如電子的動量、性質、行為等等，我們都是通過實驗獲得的圖像去理解的。好比上圖。

3、要理解或總結上圖的圖像，我們就要用函數去表達。

而正如上圖的波浪走勢，我們一般用含有PI的數學公式去表達，因為你也看出上面的波浪是由圓弧組成的圖像。

4、物理公式就是由無數的圓弧和直線組成的圖像的表達式。所以物理公式一般含有PI。

我是物理白痴，不能回答就說下π為什麼在數學裡面出現，因為三角函數，泰勒展開，傅里葉展開都可以，先有泰勒展開，然後發現三角函數的泰勒展開，然後三角函數與π有關，然後各種組合，最後傅里葉變換，就差不多遍布可以操作為π了,還一個就是e

因為物理有個東西叫做場，場是什麼？場是圓，圓就是π。而所有形狀裡面唯一能所有邊和中心保持同個距離的只有圓。π是個非常特殊的值。或者說圓非常非常特殊，以至於汽車的輪子得是圓的，飛機發動機也是圓的。甚至你眼精都是圓的。原子也是圓的。太陽也是圓的。很多地方涉及到圓。當你要把半徑轉化為周長，面積，體積，就涉及到π了。然後波又跟圓息息相關。你要知道世界好多的波。。。圓真的無處不在。。。事實上我感覺π這種才是真是存在的數，而1234這種只是人為的一種模擬，是不真實的，只是很接近。