如何理解伊辛模型的 wolff 演算法？

11-18

佔個坑先，講講我目前的理解，拋個磚等大佬，新人一枚，哪裡寫錯了請使勁拍磚。

寫在前面，這個方法對於有外場的時候不work

目的都是要根據配分函數產生對應的分布嘛。

一般的演算法，比如Metropolis，每次隨機選擇一個自旋來考慮是否翻轉，這樣在遠離相變點的時候，效果還是可以的，但是在相變點附近，Metropolis就不太好用了。簡單概括就是：

每次只翻一個，效率太低。翻很多很多次，也不容易使得兩次的樣本達到，statistically independent。而且我們知道Metropolis存在著一個接受概率的問題，接受概率會小於1。要是始終接受多好啊！

對於伊辛模型來說，Metropolis演算法的話，格點邊長為 $L$ 時，比如二維伊辛，每次進行 $L^2$ 次翻轉嘗試，autocorrelation time $Theta sim L^z$ ，這裡的 $z$ 叫做dynamic exponent ，對於二維伊辛模型， $zapprox2.2$ 。這樣隨著 $L$ 的增長，每次為了達到statistically independent 所需要的翻轉次數增的極其之快。

那怎麼辦呢，一次翻一大團啊。

具體做法是，先隨機生成一種自旋的初始情況。對於自旋方向相同的邊，以概率 $1-e^{-2|J|/T}$ 連接起來，然後每次隨機選擇一個點，找到這個點所在的（按照前面的連接方式所產生的）Cluster，然後把整個Cluster全部翻轉。然後針對這個新的情況，重複進行上述的事情。

那麼為什麼這樣做是對的呢？我們從配分函數出發能夠證明。

和這個一樣的思想的有一個演算法叫做Swendsen-Wang，兩者的不同點在於，Swendsen-Wang是按概率產生完邊的連接之後，不隨機選點找其中一個Cluster翻轉，而是把所有的Cluster（單個點也算），分別以 $frac{1}{2}$ 的概率翻轉。

Swendsen-Wang的話，記得是 $Theta_{int} sim ln(L)$ ，二維伊辛模型相變點附近，應該是 $Theta_{int} = 0.75+0.85 ln(L)$ ，這樣相比較而言，隨著 $L$ 的增大，我們所需要的翻轉次數就大大減少

Wolff比起Swendsen-Wang還要好一些，原因是因為其實找一個spin seed來選取其中一個Cluster而Swendsen-Wang是直接考慮全部的Cluster，那麼Wolff演算法中，Cluster比較大的裡面的點就更容易被選到，每次翻轉的自旋就更多。

細節和部分證明，出門浪完了拐回來慢慢補。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

唔，我回來啦補一下細節。

既然一切的一切都只跟相鄰的自旋對有關，那麼我們直接從自旋對（兩自旋之間的鍵）的角度出發來考慮問題。

對於 $d$ 維的伊辛模型，其自旋數目 $N=L^d$ ，因為只考慮最近鄰相互作用 $sigma_{ileft( b ight)} sigma_{jleft( b ight)}$ ， $b=1,2,3...,N_b$ 。那麼需要考慮的自旋對兒有 $N_b=dN$ 個，我們叫它鍵好啦。

我們把能量寫作： $Eleft( sigma ight)=-left| J ight|sum_{b=1}^{N_b}left[ sigma_{ileft( b ight)} sigma_{jleft( b ight)}+1 ight]=sum_{b=1}^{N_b}E_b$

這和我們之前寫的能量有所區別，多了一個常數。我們知道常數是不影響概率分布的，而多寫一個常數的好處我們在後面就會看到。

配分函數因此寫作： $Z=sum_{sigma}prod_{b=1}^{N_b}e^{E_b/T}=sum_{sigma}prod_{b=1}^{N_b}left[ 1+left( e^{E_b/T}-1 ight) ight]$

我們定義一個關於鍵的函數，相連記為1，否則為0（事實上我們傾向於按照某個概率把自旋方向相同的點連起來，對於自旋相反的邊則直接記0）

$F_b(0)=1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,, F_b(1)=e^{E_b/T}-1$

不相連 $F_bleft( 0 ight)$ 在求乘積是不影響結果的。

配分函數因此寫作： $Z=sum_{sigma}prod_{b=1}^{N_b}left[ F_bleft( 0 ight)+F_bleft( 1 ight) ight]$

再進一步，對於每個鍵引入一個變數 $au_b=pm1$

配分函數的形式更好看了： $Z=sum_{sigma}sum_{ au}prod_{b=1}^{N_b} F_bleft( au_b ight)$

再來仔細看一下這個函數：

$F_bleft( 0 ight)=1$

$F_bleft( 1 ight)=e^{E_b/T}-1=egin{cases} e^{2left | J ight |/T}-1, sigma_{ileft ( b ight )}=sigma_{jleft ( b ight )} \ 0, sigma_{ileft ( b ight )} eq sigma_{jleft ( b ight )} end{cases}$

會出現等0的情況，對應的是這條邊非法（只有自旋方向相同的邊才有可能被連）

在沒有非法的邊存在時， $prod_{b=1}^{N_b} F_bleft( au_b ight)=left( e^{2left| J ight|/T}-1 ight)^{N_1}$ ，其中 $N_1$ 為所連的邊的條數。

我們把這個當做權重，來產生對應的 $sigma$ 和 $au$ 的分布，而權重只和 $N_1$ 有關。我們能看出來，如果我們有種操作，能夠使得在改變自旋的時候，使得邊的情況不變的話，這個權重是不變的。

怎麼辦到這件事呢？

我們知道被連起來的都是自旋方向相同的（反之則不一定），我們把某個被連接起來的Cluster，全部翻轉，得到了新的自旋分布，而考慮鍵的情況，發現不會產生任何矛盾。

等等，我們要做的事情早就變成了，產生一個 $pleft( sigma, au ight)$ 的分布。

這是什麼，這是 Gibbs Sampling演算法 啊！！！！！！！！

我們成功的把問題轉化為了如何進行Gibbs Sampling

簡單回顧一下二維的Gibbs Sampling，產生一個樣本 $left( x_1,y_1 ight)$ ，保證 $x$ 不變，過程略去不說的生成新樣本 $left( x_1,y_2 ight)$ ，再保證 $y$ 不變，過程略去不說的生成新樣本 $left( x_2,y_2 ight)$ ，接著保證 $x$ 不變...

完美的吻合啊，保證 $sigma$ 不變，產生鍵的一個情況；通過翻轉整個Cluster，來產生新的自旋狀態而 $au$ 不變...

唯一剩下來的小問題，是這兩步分別怎麼進行。

自旋情況固定，產生鍵的分布：

$Pleft( au ight)=prod_{b}P_bleft( au_b ight)$ 其中 $P_bleft( au_b ight)=frac{F_bleft( au_b ight)}{F_bleft( 0 ight)+F_bleft( 1 ight)}$

可以簡單計算一下數值： $Pleft( au_b=1 ight)=egin{cases} 1-e^{-2left | J ight |/T}, sigma_{ileft ( b ight )}=sigma_{jleft ( b ight )} \ 0, sigma_{ileft ( b ight )} eq sigma_{jleft ( b ight )} end{cases}$ ， $au_b=0$ 懶得打了。

鍵的情況不變，產生新的自旋：

我已經知道了，對於整體翻轉Cluster能保證鍵的情況不變，那麼具體如何翻轉呢？有兩種方式：

第一種是，以一個小於1的概率（通常用 $frac{1}{2}$ ）去翻轉每一個Cluster。這種方式是Swendsen-Wang演算法

第二種是，隨機選取一個點，以概率1翻轉這個點所在的Cluster。這種方式是Wolff演算法

反正這答案沒什麼人看233

自己瞎寫著玩，熟練一下Latex技巧