如何用代碼畫出一隻齒輪？

再套上外殼，關於外殼的完成，其實也是貝塞爾曲線的一種應用，請參考我的另一篇回答：

https://www.zhihu.com/question/37231903/answer/139438769

再加上單獨齒輪旋轉的效果：

最後，再把touch事件寫好：

@Override
public boolean onTouchEvent(MotionEvent event){

getTracker(event);
switch (event.getAction()){
case MotionEvent.ACTION_DOWN:
startY = event.getY();
startX = event.getX();
float r = (float) (nineGearLinkage.getShell().getDiameter()/Math.sqrt(2)+nineGearLinkage.getShell().getR());
boolean a = Math.abs(centerF.x-startX)& boolean a1 = Math.abs(centerF.y-startY)& if(aa1){
isOut = false;
}else {
isOut = true;
}
dV = 0;
startThread();
sA = (float) Math.atan((startY-centerF.y)/(startX-centerF.x));
if(mTracker==null){
mTracker = VelocityTracker.obtain();
}else{
mTracker.clear();
}
mTracker.addMovement(event);
break;
case MotionEvent.ACTION_MOVE:
X = event.getX();
Y = event.getY();
mA = (float) Math.atan((Y-centerF.y)/(X-centerF.x));

if(isOut){
nineGearLinkage.setAngleV(0,mA-sA);
}else {
angle = mA-sA;
nineGearLinkage.setAngleV(angle ,0);
}

invalidate();
mTracker.addMovement(event);
mTracker.computeCurrentVelocity(1000);

break;
case MotionEvent.ACTION_UP:
float b = Math.abs(X-startX)&>Math.abs(Y-startY)? (startX-X): (Y-startY);
mV = (b&>0)? getSpeed(): -(getSpeed());
dV = mV;
cancelTracker();
startThread();

break;
}
return true;
}

照例，我要把源碼放出來給各位同學參考：

wuyongxiang/Gear

從看見這個問題，到完成效果，我差不多花了15，6個小時，還不算我偷偷避開老闆的時間，各位同學你們看到這真的忍心不贊一下嗎？

工程上應用最多的是漸開線齒輪，圓弧齒輪應用比漸開線少，故本答案主要考慮漸開線齒輪的齒廓繪製。注意圖多。

先上最終效果：

淘寶上隨便找了個圖對比下輪廓（請自動忽略掉水印）：

兩個齒輪（11齒和31齒）：

放大看嚙合部分，看看嚙合得多麼完美：

1.首先推導漸開線方程

漸開線是一條與圓相切的直線在圓上滾動，直線上定點所形成的軌跡。

用MATLAB試試：

clear;clc;

polar(thetaK,rK)


alphaK從0到1，rb暫時取20。下面是繪圖效果：

可以看到漸開線已經出來了，不過是從0°開始畫，我們希望最後生成的齒廓在y軸正方向能夠剛好有一個齒在中間，並且左右對稱。所以需要加一點角度。

2. 計算4個圓的半徑

先不管上面說的角度。下面把4個圓算出來：

%塊1
clear;clc;

circle(0,0,r,"black")
circle(0,0,rb,"black")
circle(0,0,ra,"r")
circle(0,0,rf,"b")


其中circle是一個自定義函數，用來畫圓的。circle.m如下：

function []=circle(x,y,r,cr)
rectangle("Position",[x-r,y-r,2*r,2*r],"Curvature",[1,1],"edgecolor",cr),axis equal
end


得到圖片（上面的缺口是截圖缺陷）：

由外向內依次是齒頂圓，分度圓，基圓，齒根圓。從這裡開始的rb就不是第1節隨便取的20了，而是模數1，齒數17，不變位的標準齒輪的基圓半徑。

3.偏移漸開線

第1節的漸開線在x正方向，不爽。加90度轉到上面來：

%上接塊1
alphaK=0:0.01:1

polar(thetaK,rK)


好了，這樣可以發現，在thetaK後面加上角度就可以旋轉漸開線的起點。

但是齒輪有齒有溝，怎麼把齒放在中間？下圖P1點是現在漸開線上的點，P2點是旋轉後的點。

寫代碼：

%上接塊1
alphaK=0:0.01:1

polar(thetaK,rK)


這時可以看到漸開線起點已經偏移到位了。

但上面那截還有點多餘。漸開線的盡頭是齒頂圓，所以只要得到齒頂圓和漸開線的交點，讓漸開線畫到交點就行了。

回到漸開線方程。

回到上一段代碼，把alphaK改成：

alphaK=0:0.01:acos(rb/ra);


得到：

之後畫出齒頂圓的圓弧，再把之前的漸開線鏡像一下（轉為直角坐標，x取負，再轉回極坐標）。代碼略（最後會給出總代碼），得到圖：

紅線是齒頂圓，藍線是齒根圓。基圓比齒根圓大，中間有段過渡曲線。這個部分就非常麻煩了，因為根據齒輪加工方式的不同，這段曲線是刀具包絡形成的，在范成法加工時是擺線。建模上一般用圓弧和直線代替。

下面這個圖是參考文獻2里的，感受一下：

所以我就用圓弧和直線代替齒根輪廓了，一般建模也是這麼處理的。

從這裡開始符號換一換，theta-&>beta, theta1-&>beta1, theta2-&>beta2。另外把偏移角挪到最後來處理。

把單個齒形輪廓劃分為8段。

1，2，3我們已經得到。4是一條指向圓心的直線，6是齒根圓弧，5是4和6之間的圓角並且與4和6都是相切的關係。

5是一條弧線，圓心不在極坐標軸原點，在直角坐標下要好算坐標一些。先編寫函數arc求弧線的點：

function [x y]=arc(Ox,Oy,r,angle1,angle2,all_step)%逆時針
t=angle1:(angle2-angle1)/all_step:angle2;
x=r.*cos(t)+Ox;
y=r.*sin(t)+Oy;
end


Ox, Oy, r 是圓心坐標和半徑；angle1, angle2是弧線開始和結束的角；all_step是取點的數量。

設弧線5的半徑是rb-rf的一半（這個是我個人設置的，因為嚴格的齒根輪廓在成型法加工時是刀具輪廓，在范成法加工時是擺線，這裡的齒根輪廓僅作建模及示意使用[註：這句話有誤，詳見最後]）。下面推導弧線5的圓心及始末角：

綜合以上，得出一個齒形的代碼：

%代碼A
clear;clc;

polar(theta,rou)%單個齒形曲線


如圖：

用一個for語句作圓周陣列：

%上接代碼A
%本節為代碼B
theta_all=[];rou_all=[];
for i=0:(z-1)
temp_theta=theta+2*pi/z*i;
temp_rou=rou;
theta_all=[theta_all temp_theta];
rou_all=[rou_all temp_rou];
end
polar(theta_all,rou_all);


得到1個齒輪：

加齒輪也很簡單：

%上接代碼B
[gear1x gear1y]=pol2cart(theta_all,rou_all);
gear2x=gear1x;
gear2y=gear1y+2*r;
plot(gear2x,gear2y);


因為齒輪以y軸對稱，所以直接在y軸方向偏移中心距就可以了。

把前面的代碼包裝成函數，就可以生成其他齒數、模數、變位係數等參數的齒輪了。

比如下面這個：

大齒輪15齒，變位係數-0.3。小齒輪5齒，變位係數0.3。當然這個圖只作為演示，沒有驗算根切條件……我好像說得太多了。就這樣結束吧。

MATLAB代碼還是很直觀的，改一改就可以用C, JAVA等其他語言來畫了。

另外，上面的圓角部分沒有驗算圓角存在條件，齒數較大及較小時會出現圓角失真，這種情況手動設置下圓角半徑就行了。另外，變位係數較大時兩個漸開線會相交，這種情況需要求交點並省略掉齒頂圓弧，我懶得處理這部分代碼了。

動畫我懶得做了（MATLAB可以做動畫）。

另外，忽略我醜陋的公式圖，因為懶得輸公式，直接照了照片。

源碼已傳GitHub: tomwillow/DrawGearContour

參考文獻

[1] 謝進, 萬朝燕, 杜立傑. [M]機械原理. 北京: 高等教育出版社. 2004.

[2] 李濱城, 徐超. [M]機械原理MATLAB輔助分析. 北京: 化學工業出版社. 2011.

對根切感興趣的可以看這個問題及回答：pengcheng：齒輪少於17個齒就不能轉嗎？

pengcheng：一道關於齒輪設計（非標準齒輪）的問題?『

更新：

評論區 @zmztx 指出：

關於「所以我就用圓弧和直線代替齒根輪廓了，一般建模也是這麼處理的。」
用一根直線代替齒根輪廓，很不合理。齒根過渡曲線的幾何意義是避免嚙合中的干涉。用圓角還說的過去，用直線就說不過去了。為了避免干涉，則在漸開線與過渡曲線切點（沒有根切），因為你只用一根直線，為了避開嚙合的齒輪齒頂，直線要向入體方向極度撇進去，那麼齒根將變得很難看；如果不撇進去，必然出現干涉。另外，「嚴格的齒根輪廓在范成法加工時是擺線」，正確的是，在用齒條刀具（滾齒刀）做范成方式加工齒坯時，過渡曲線為等距延伸漸開線。在用齒輪刀具（插齒刀）做范成方式加工齒坯時，過渡曲線為等距延伸外擺線。

大家注意我的齒根輪廓僅為示意，不是實際情況。齒輪裡面確實門道太多了，上學時書上就沒怎麼講齒根輪廓怎麼回事，兩句話就帶過了。上面pengcheng的答案講得非常好，非常透徹。

請大家關注下 @pengcheng ，這是一個專業的齒輪工程師，我僅僅是本科畢業而已，不要再贊我了，只是做了點科普的小工作，拋磚引玉而已，圖還這麼粗糙。大家去看看 @pengcheng 的答案，這才是知乎之寶。

高贊答主這個是在Android上面實現的，可移植性不強，這類代碼還是用JS實現更加喜聞樂見一點。

那麼就要推薦Javascript裡面著名的可視化工具包D3（Data-Driven Documents)啦，這個強大的工具包可以畫出這種

這種

還有這種

的精美數據可視化。

然後有人藉助D3.js的框架畫了個行星齒輪組的演示：

Epicyclic Gearing

可以畫出這樣的齒輪組，看起來很酷炫是不是？而且還會動呢。

雖然是放在了D3.js的gallery里，但其實每一個齒輪都是通過如下的源生JS代碼定義的：

function gear(d) {
var n = d.teeth,
r2 = Math.abs(d.radius),
r0 = r2 - 8,
r1 = r2 + 8,
r3 = d.annulus ? (r3 = r0, r0 = r1, r1 = r3, r2 + 20) : 20,
da = Math.PI / n,
a0 = -Math.PI / 2 + (d.annulus ? Math.PI / n : 0),
i = -1,
path = ["M", r0 * Math.cos(a0), ",", r0 * Math.sin(a0)];
while (++i &< n) path.push( "A", r0, ",", r0, " 0 0,1 ", r0 * Math.cos(a0 += da), ",", r0 * Math.sin(a0), "L", r2 * Math.cos(a0), ",", r2 * Math.sin(a0), "L", r1 * Math.cos(a0 += da / 3), ",", r1 * Math.sin(a0), "A", r1, ",", r1, " 0 0,1 ", r1 * Math.cos(a0 += da / 3), ",", r1 * Math.sin(a0), "L", r2 * Math.cos(a0 += da / 3), ",", r2 * Math.sin(a0), "L", r0 * Math.cos(a0), ",", r0 * Math.sin(a0)); path.push("M0,", -r3, "A", r3, ",", r3, " 0 0,0 0,", r3, "A", r3, ",", r3, " 0 0,0 0,", -r3, "Z"); return path.join(""); }

然後通過D3.js的API就可以把齒輪生成出來

var width = 960,
height = 500,
radius = 120,
x = Math.sin(2 * Math.PI / 3),
y = Math.cos(2 * Math.PI / 3);

frame.append("g")
.attr("class", "planet")
.attr("transform", "translate(0,-" + radius + ")")
.datum({teeth: 32, radius: -radius * 2})
.append("path")
.attr("d", gear);


通過改改參數，就可以得到不同尺寸的形態的齒輪

大家也能看出來，其實這個齒輪並不是按照機械上的漸開線或者外擺線齒形來設計的。但是其實修改起來也不難，我沒時間弄了，大家可以自己試試。JS的好處是，只要把下面一段代碼保存到一個.html文件里就可以在瀏覽器里愉快地調試了。

&
&
&

body {
font-family: "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, sans-serif;
width: 960px;
height: 500px;
position: relative;
}