如何求出正態分布的尾部期望？

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最近在學尾部條件期望（TCE），對於離散型變數，可以逐個計算，但對於連續型隨機變數如何求尾部期望呢？假設 $Xsim N(0,1)$ 。
作圖發現，
$E[X|X<Z,P(X<Z)=alpha ]=int_{0}^{alpha } F^{-1} (X)dp$
其中F(X)為正態分布的累積概率函數。
現在問題是F(X)寫不出解析式，該如何求解？

經常用類似的題目來面試我們部門的應聘者。這個問題其實沒有那麼複雜，可以直接積分求解。
設 $N(x)$ 和 $n(x)$ 分別為正態分布的累積分布函數和密度分布函數。
要求的是
$Eleft[ X | X < N^{-1} (alpha) ight]$
利用 $x n(x) dx = -d n(x)$ (這個很容易驗證），可以得到
$Eleft[ X | X < N^{-1} (alpha) ight] =frac{1}{alpha} int_{-infty }^{N^{-1}(alpha)} x n(x) dx = -frac{1}{alpha} int_{-infty }^{N^{-1}(alpha)} d n(x)=-frac{1}{alpha} nleft(N^{-1}(alpha) ight)$
這就是答案。通過這個公式可以可容易的對不同的 $alpha$ 通過Excel等計算出數值。
比如當 $alpha=0.0258$ 時，可求得 $Eleft[ X | X < N^{-1} (alpha) ight] =-2.326$ , 很接近 $N(0.01)$ 的數值。這個結論在金融風險分析中很常用到。因為這說明當風險分布接近正態時可以用2.58%的tail average去計算1%的value at risk. 這在觀測數據量不足的時候非常有用，因為比起直接求percentile, 尾部期望更有效的利用了數據, 估值更穩定。風險管理中常用的一個近似是從264天（一年的交易天數)的歷史觀測值取最小的7個值求平均計算1%VaR就是利用了這個性質。

占坑

直接用Monte Carlo方差會很大，需要用Girsanov theorem來做importance sampling

F^-1(x)有可以用多項式近似出來，不過在遠端尾部也不太准。

一樓的方法固然很巧妙，但是樓主這問題很奇怪。F(x)哪怕沒解析解也會有數值解，要積分用數值積分不就行了嗎？除非答案是問你如何用一行excel代碼來算（即給出一個基於N(x)的"解析解"），這還稍微有點挑戰，否則無腦式的丟進matlab積分不就行了？

可以用蒙特卡洛法

數值積分啊