關於整數多還是偶數多的問題，到底怎麼解釋？

12-05

那天和同學一起吃飯時，某同學說在某處看到「整數和偶數一樣多」的說法。是這麼解釋的：把任何一個整數乘2都能得到一個偶數，所以二者一樣多。我們都認為不對，但是如果按照他說的這種思路想下去的話又想不出哪裡錯了。請問，到底是哪裡錯了？
P.S：如果整數和偶數一樣多的話，那奇數呢？

先考慮在日常思維中我們是如何比較多少的？根據奧卡姆定律，我們在比較多少時，不需要引入數字，不需要給雙方計數。只需要你取出一個，我也取出一個——也就是「一一對應」方法——到最後誰還有剩下的，誰就更多。按照這個思維，似乎可以推論，只要你有的我全都有，你沒有的我也有，那麼我就一定比你多，也就是全體大於部分。可惜這個推論受到歷史環境的制約，只在日常生活中成立——有限性，是日常生活中的根本特點，我們比較的任何事物，數量總是有限的。

在抽象事物的比較中，我們遇到新的特性——無限多的元素。這時我們繼續套用「一一對應」法，就會發現，有的時候全體等於部分，比如整數和奇數是「一樣多」的。因為，你出 0，我就出 1；你出 ±1，我就出 3 和 -1；你出 ±2，我就出 5 和 -3；總之，你出 n，我就出 2n+1。

令你感到不適的，正是全體等於部分這個新情況，而通過上面的敘述，也可以知道，這正是無限集合區別於有限集合的一個基本特徵。因此，這實際上成了無限集合的一種定義：什麼叫做無限集合？可以與自己的某個真子集建立一個「一一對應」關係的集合，就叫做無限集合。

這是無窮基數計算中違反直覺的例子。兩個有限數量的集合的比較與兩個無限集合的比較是不同的，定義一個無窮集合比另外一個無窮集合多，需要比較其基數。如果無法建立從一個無窮集合A到另一個無窮集合B上的滿射，才能說明B比A要多。直覺上可能會覺得偶數比整數少，但事實上兩者都和整數集有同樣的基數，因為他們都能和整數集建立一一映射，這時稱兩個無窮集是一樣大的。事實上，一個無窮集合很可能可以和自己的一部分「一樣多」。

整數集合與偶數集合等勢，一樣多這種說法容易讓人把等勢類比為日常生活中有限集大小比較的概念。

這是集合論中的最基本的問題，當年由康托爾研究並發表出來的。整數集，自然數集都是可列的，就是說他們的數量都是相等的，個數叫阿列夫零。
話說當年康托爾的成果給他的壓力不小，因為當時的人們都不理解他的理論，他的老師學生同時很多人都反對他，他曾患有精神分裂症。

沒錯。的確整數和偶數一樣多。
建立一個整數集到偶數集的一一映射，f(n)=2n即可。

這是對無限集合的比較問題。
無窮的集合，沒法衡量其數量的多少，只能說某個集合的基數是什麼。整數的基數是可列的，事實上，有理數的基數也是可列的，別說偶數和正整數可以一一對應起來，就是所有的有理數，看起來更大的代數數，它們都可以和正的偶數一一對應起來，都是可列的。
像正整數這樣的無窮集合的一個特點是，它可以和它的任何一個非有限的子集一一對應起來，比如和1， 10， 100，1000...這樣的數列一樣大。但是一個無窮集合的所有子集的集合，就比它本身大了。
而更大一級的無窮集合，好像就是實數了，數軸的實數和無理數，和整個平面上的複數，好像也都是一一對應的。
這些問題和一般人的直覺有矛盾，這個是很自然的，就我們一般人所理解的集合論，實際上本身就充滿著各種悖論，包括那個著名的理髮師悖論。一般人遇到的悖論，基本都出在集合論領域。當然，數學家所所應該定義的公理化的集合論，就排除了這些悖論。

還有一個類似的問題，每次往瓶子里放兩個球，然後再取出一個球，如此無限循環下去。問瓶子里最後有幾個球？

無限多的局部可能等於整體嘛……
建議看加莫夫的《從一到無窮大》

在基數的觀點下，兩者具有同等的基數。
在漸進密度的觀點下，偶數的漸進密度是整數的一半。

兩個答案是不同的觀點，因為無窮的情況下，有限時的多與少概念無法簡單處理，只能找別的判斷依據代替，不同的準則必然導致不同的答案。

不過，在純粹討論集合的時候，人們已經習慣把基數與多少直接等同起來，說一樣多專指基數相等。

非專業質疑。

我覺得說整數和偶數一樣多是不對的。至少，這個「多」和我們普通意義上的「多」是不同的。

很多回答提到了「基數」的概念，個人覺得，這個基數就相當於高數裡面關於「無窮大」和「無窮小」的「階數」的概念一樣。

說基數相同，那意思就相當於，無窮大的階數相同。

例如，x→∞時，2x和x是同階的。在不進行對比的情況下，可以認為x=∞，那麼也有2x=∞。

但是一旦將兩者對比起來，就有2x/x=2.

整數和偶數等勢是否可以作相同理解。

整數的勢為∞，那麼偶數的勢為1/2∞

兩者數量對比為 2.

請專業的童鞋來答疑。

當數學概念涉及到無窮或者極限時往往感覺上有悖常理，就像樓主說的那奇數呢？可是想像這樣一個問題，無窮和無窮-1哪個大？答案是一樣大，因為無窮-1還是無窮（否則就不叫無窮了），同樣無窮+無窮還是等於無窮。

說他們是一樣多是對的，但是，是沒有意義的「對」，因為這個前提是把它們都看作是無限的。

我認識只有限定一定範圍下去討論才有意義。