有一架天平,要用它稱出1~N克之間所有重量為整數克的物體,至少用多少個砝碼?每個砝碼的重量是多少?

12-06

之前碰到一個問題：有一架天平,要用它稱出1~40克之間所有重量為整數克的物體,至少用多少個砝碼?每個砝碼的重量是多少?答案是4個砝碼，這4個砝碼的重量分別是1,3,9,27。再推至極限情況，給出任意一個範圍，1~N，是否有一套公式，根據N的數值，可以算出需要至少多少砝碼，並分別計算出這些砝碼的重量呢？

謝邀。@周欣宇的答案是對的，但是對於如何去稱還是說得不太明白。

結論：砝碼的質量是1為首項，3為公比的等比數列。我們假設物體質量的三進位表示為 $a_{1}a_{2}cdot cdot cdot a_{n}$ ,其中每一項的取值都是0、1或2.

如果其中沒有2，那麼只需要把所有1對應位置的砝碼放置到天平另一端即可。

如：質量為10，三進位表示為101，則把1和9放到對面。

如果其中有2，那麼從右到左，把大於等於2的數字減去3，再把左邊的數字加上1.

如：質量為17，三進位表示為122。首先把最右邊的2減去3，再把左邊的2加上1，變成{1,3,-1},再處理第二位：把3減去3，再把最左邊的1加上1，變成{2,0,-1},最後把2減去3，左邊補上1，變成{1,-1,0,-1}。

處理完之後，把1對應的砝碼放在物體對面，把-1對應的砝碼放在物體同側即可。

比如針對質量為17的物體，對面放27，同側放1和9，剛好。

有。

一、結論：
假設使用n+1個砝碼，
$1,3,3^2,3^3...3^n$
對於每個n,可以稱出的N的範圍在
$[frac{3^{n}+1}{2},frac{3^{n+1}-1}{2}]$
多於這個範圍需要n=n+1,少於這個範圍則只需要到n=n-1即可
對於題主提出的情況即為n=3, $Nin [14,40]$

二、應用：
對於任意N，根據（一）中閉區間的範圍求出n值，即可得到所需求的砝碼個數(n+1)。
假如N=6546587，求出log(6546587, base=3)~=14.2857，即需要15個砝碼，從1,3,9,27一直到3^14=4782969；由這15個砝碼可以最多稱出1-7174453中任何一個數字。

證明：
數學歸納法：
（1）對n=0,1,2，口算成立

（2）假設有k個砝碼，可以稱出不大於
$frac{3^{k+1}-1}{2}$
的所有組合。

（3）那麼加入第k+1個砝碼 $3^k$ ：
我們可以看到
$frac{3^{k}+1}{2}+frac{3^{k+1}-1}{2}=2*3^k$
也即 $3^k$ 恰好為
$[frac{3^{k}+1}{2},frac{3^{k+1}-1}{2}]$
的中間值，離兩個端點的距離均為
$frac{3^k-1}{2}$ 。
而這個值正是（2）中k個砝碼可以完美覆蓋的數值範圍。

很久沒寫證明了可能語言不太好...如有疑問請提出
------

來一個直觀圖。
我們知道最大克數和最遠距離其實是同樣的問題。

假設在第k步，所有的砝碼總共可以測這麼長

那麼在第k+1步，為了讓砝碼能夠最大限度的被利用，即測出最遠距離，那麼我們要這麼安排：

所以第k+1步中能測出的最遠距離 $a_{k+1}$ 的遞推公式即為
$a_{k+1}=3a_k+1$
因為 $a_1=1$ ，可以算出最後的通項，即
$a_{k+1}=frac{3^{k+1}-1}{2}$ -----
思考題：
是否存在以大於3為通項的稱重問題？如果有，是什麼樣的？如果沒有，請給出證明