有哪些時候你會覺得數學很有用？

12-06

@Langxuan Su 的回答里構造鞅和停時再用SDE逼近的思路非常巧妙，前半部分我也不曉得怎麼才能簡化，不過 $mathbb{E}[ au]$ 的計算有初等一點的方法，考慮到 $au$ 是一個在 ${1,2,3,ldots}$ 上取值的計數隨機變數，其期望可以表達為

$mathbb{E}[ au]=sum_{n=1}^{+infty}nPr( au=n)=sum_{n=1}^{infty}Pr( auge n)$

這裡，事件 ${ auge n}$ 等價於事件 ${X_1+cdots+X_{n-1}le 1}$ ，於是上面的期望可以表達為 $mathbb{E}[ au]=sum_{n=0}^{+infty}Pr(X_1+cdots+X_{n}le 1 )=sum_{n=0}^{+infty}frac{1}{n!}=e$

這裡 $Pr(X_1+cdots+X_{n}le 1 )=frac{1}{n!}$ 可以用歸納法證明，有興趣的可以參看

Probability that sum of independent uniform variables is less than 1

一個幾何直觀的解釋是，這個概率等於一個n維單位超方體的一個角與所有相鄰的頂點構成的n維超三角錐的體積，在二維就是單位正方形的1/2，在三維就是單位立方體的1/6.

看到有人提到可以用Wald"s equation 來處理這個問題，可以直接得到

$mathbb{E}[S_ au]=mathbb{E}[ au]mathbb{E}[X_n]=frac{e}{2}$

不過這裡 $au$ 和 $X_n$ 是相關的，需要驗證幾個正則條件，實際上還是在用停時。

謝邀。

上一個暑假在西雅圖實習的時候，有個在加州實習的小夥伴發給我一道tech招聘會上的程序分析題目：

有這樣一段代碼，其中randomUniform(0, 1)指的是從(0, 1)的均勻分步中取一個隨機數

float sum = 0.0; while(sum &<= 1.0) { sum += randomUniform(0, 1); } return sum;

問這個程序返回值的期望值。

既然是招聘會的題目，應該是有巧妙的初等辦法，有興趣的朋友可以想一下，想到了告訴我。然而，作為一個數學專業，我條件反射地用了上學期stochastic calculus的方法解決了，把過程及答案發回給了小夥伴。小夥伴不是數學專業，自然也看不懂過程，不過他通過瞎扯名詞讓招聘人員相信他做出來了，還得了個獎。據他所說，在場各種MIT哈佛學生，和各種大小公司的實習生，沒人做得出來。。。感覺自己好像錯過了什麼。。。

至少我發現了：數學原來可以幫助找工作。

有興趣的可以看看stochastic calculus的解法：

令 $X_1, X_2, ldots, X_n sim Unif(0,1)$ , $S_0 = 0, S_n = X_1 + X_2 + cdots + X_n$ , 定義停時 $au = inf{n ge 0 : S_n > 1 }$ 。目的是求 $mathbb{E}[S_ au]$ 。可見 $S_n-n/2$ 是一個鞅。因為 $S_{ au wedge n} le 2$ , 滿足optional sampling定理條件，可以得到 $mathbb{E}[S_ au - au/2] = S_0$ , 也就是說 $mathbb{E}[S_ au] = mathbb{E}[ au]/2$ ，所以求 $mathbb{E}[ au]$ 就可以了。要求一個函數 $f: [0, infty) o [0, infty)$ 使得 $f(S_{ au wedge n}) + au wedge n$ 是一個鞅，且對於 $x > 1$ , $f(x) = 0$ 。根據鞅性質以及邊界條件，解ODE: $f(x) = 1+ int_x^1 f(t),dt$ 得到 $f(x) = e^{1 - x}1_{{x le 1}}$ 。為什麼這樣就足夠了呢? 因為根據鞅性質 $f(S_0) = mathbb{E}[f(S_{ au wedge n}) + au wedge n]$ ，令 $n o infty$ ，根據單調以及控制收斂定理，收斂到 $mathbb{E}[f(S_{ au}) + au]$ 。因為邊界條件, $f(S_ au) = 0$ ，所以 $mathbb{E}[ au] = f(S_0) = f(0) = e$ 。最終結果就是 $mathbb{E}[S_ au] = mathbb{E}[ au] / 2 = e / 2 approx 1.359...$

看上去好像步驟很多，其實這是這類問題的標準解法，學會的話其實還是挺簡單的。學math finance的小夥伴會經常遇到這種題，差不多就是隨機過程變成了連續時間的，中間加一步It?"s formula，再列ODE，本質還是一樣的。還是不懂為什麼這種題會出現在tech的招聘會，可能還是有初等的解法吧。。

Update: 沒想到大家對這道題這麼感興趣，這個問題有幾個回答都被我帶歪了2333。評論里有一兩個稍微初等一點點的方法，實際上也不太算初等，我覺得招聘會的題都傾向於腦筋急轉彎那種，這題可能比較另類吧。這確實是一道很好的題目，我和我的概率教授提了一下，他就把這道題加進了自己的題庫里了。。

Update 2: 沒想到大家這麼喜歡這道題，從沒見過評論這麼熱烈的數學回答2333，我從評論里也學到不少東西，多謝各位了。有興趣的同學可以去學一下stochastic calculus，這個學科不僅有用，還挺漂亮的。

Update 3: 告訴我這道題的小夥伴似乎並沒有收到出題公司的面試，果然數學還是沒啥用......

@Langxuan Su

一個初等直接但不巧妙的方法：

把整個過程想像為一個隨機行走，以 $P_n(x)$ 表示第 $n$ 步後位於 $x$ 處的概率密度，通過遞推可得，對於 $0le xle 1$ 有 $P_n(x) = frac{x^{n-1}}{(n-1)!}.$

而要求的那個期望值可以直接表達為

$sum_{n=1}^infty int_0^1 dx int_{1-x}^1 dy P_n(x)cdot (x+y).$

代入 $P_n(x)$ 的表達式然後直接計算可得答案為 $e/2$ 。

試圖給出一個簡單一點的@Langxuan Su 題目證法

以 $f(x)(0leq xleq 1)$ 表以下程序的輸出的sum的期望：

float sum = 0.0; while(sum &<= x) { sum += randomUniform(0, 1); } return sum;

在計算 $f(x)$ 時，設第一個隨機數為 $t$ 。若 $t> x$ , 則sum返回的結果就是 $t$ ；因 $t$ 在 $x$ 與 $1$ 之間均勻分布，此時期望為 $frac{1+x}{2}$ 。

若 $t<x$ ，則sum的期望是 $f(x-t)+t$ 。（剩下的數的和至少要是 $x-t$ ）

因此可得方程:

$f(x) = (1-x)cdotfrac{1+x}{2} + int_0^x (f(x-t)+t)dt$

兩邊對 $x$ 求導得

$f$

結合 $f(0) = frac{1}{2}$ ，可得 $f(x) = frac{e^x}{2}$ 。

代入 $x=1$ 得 $f(1) = frac{e}{2}$

（1）當年玩魔獸世界時，為了追求最大dps，開始進行屬性重鑄，然後就用起了線性規劃……

（2）以前的論壇時代，混某些論壇時要使用虛擬貨幣購買東西，比如動漫的下載鏈接之類的，而虛擬貨幣往往通過發帖賺取。

很多論壇是可以將貨幣存進虛擬銀行的，存進去之後有固定利息，而且利率遠遠高於現實的銀行，比如每天1%的利息，這樣100天後存款就是原先的兩倍。

這些論壇的虛擬銀行往往每天都可以清一遍利息達到利滾利的效果。

那麼如果你堅持每天都清一遍利息，100天後你的存款可以很接近原先的e倍……

（3）記得以前督工的某個答案提到過，根據資訊理論里的信息熵的定義，可以推出「可預測性越強，信息量越低」這樣的結論。那麼可以利用這一點幫助你在搜索引擎上進行資料搜索。

你輸入的若干關鍵詞最好能在契合你搜索目標的前提下，互相之間看起來毫無關聯，這樣搜索效果最好。

（舉個例子，「日本」和「東京」就是屬於彼此間可預測性很強關聯度很高的關鍵詞，你在搜索引擎里輸入「日本+東京」不會比輸入「東京」多出多少特別有用的東西）

如果學過一點資訊理論肯定會知道這個原理，但我們幾乎每個人都在自覺或不自覺地使用它。

（4）記得以前有同學在人人網上轉發這個段子：

「爺爺的爸爸和爸爸的爺爺是同一個人，而奶奶的媽媽和媽媽的奶奶卻不是同一個人。原因是：二階偏導次序不影響結果的前提是二階偏導數在區間連續。」

我想這都他媽的什麼亂七八糟的東西，有個毛關聯，立刻回復他予以指正：

真正的原因，是因為關係的合成運算一定是結合的，但未必是可交換的

（5）幫我弟弟妹妹、侄兒侄女他們解決數學題的時候。

（6）我爸是工程師，我會幫他處理一些製圖和計算方面的問題。

很慚愧，大學以後學的各種數學專業課基本沒在專業以外用過……

上小學得時候，我媽一星期給我3塊錢，讓我每天上學的時候花5毛買速食麵（小時候覺得速食麵是世界上最好吃的零食），一周5天上學花2塊5，最後剩下5毛錢周末買糖豆。
後來夏天到了，我跟我媽說我想天天吃一個冰棍，我媽不同意，我就哭。我爸走過來說，這樣行不行，我天天給你6毛錢，你可以自己買速食麵和冰棍（小時候冰棍一毛錢一根，比現在的哈根達斯都好吃）。我每天上學的時候屁顛屁顛拿著6毛錢去買冰棍和速食麵，心裡還感激著我爸。

然後，我就再也沒吃過糖豆。。。。

今年的雙十一，我嚴重懷疑我的數學連小學的水準都沒有……
去年限制我購物的是財力，
今年限制我購物的是智力。
別再說什麼數學沒有用的廢話了OK？

在NOIP2017Day1T1的時候

葡萄酒中鐵離子含量梯度實驗，出了結果要做圖。但是我們組沒有一個人帶了電腦，於是我問老師要了兩張作圖紙，就是那種全是小格子的，手工作圖，然後取點，手工計算稀釋濃度加係數。
手工作圖的時候我同學在一邊看，誇我做的不錯，筆算的時候他們已經說不出什麼了。
但是如果有一個人帶了電腦，那麼這種計算的效率可能快三五倍吧。

忘了說了，同學們都是法國人，雖然計算能力不好，但是Excel用的確實好。

當然是買房的時候了！！對不對？數學到用時方恨少啊~今天分享一個乾貨，講個和生活息息相關，密不可分的吧。讓我慢慢說起。

今天單拿出一個重點問題「二手房」來講講，裡面的門道很深。

凡是產權明晰、經過一手買賣之後再上市交易的房產均被稱為二手房。它是房地產產權交易三級市場的俗稱。二手房包括商品房、允許上市交易的二手公房（房改房）、解困房、拆遷房、自建房、經濟適用房、限價房。

現如今，房產市場一度火爆，購房者激增，一手房市場供不應求。由此，許多購房者將購房目標轉向了合適的二手房。

二手房的優點

1、價格相對便宜

雖然二手房的手續比新房複雜一些，而且還可能需要支付中介費，但其價格還是要低於或持平附近新房的。

2、已帶裝修

如果買了新房，後期還需要費用進行裝修，而且裝修後的甲醛也可能影響到居住者的健康，自帶裝修的二手房則避開了這樣的問題。

3、交通與生活配套更完善

大多數二手房佔據了整個區域核心的位置，或者配套十分齊全的位置，吃飯、看書、購物、觀影、洗浴等等，幾乎都可以在家門口找到，生活舒適度更高。

二手房的缺點

1、房齡過長

按照規定，二手房房齡與貸款年限之和不得超過40年（個別銀行45年），因此對於房齡稍長的房子，購買壓力會比新房大不少。

2、本身設計存在缺陷

部分小區在戶型設計、裝修品質上較為落後，不能滿足現今購房者的需要。

3、物業沒有保障

不少以前的小區沒有真正系統的物業，而且前期較低的物業費定價以及業主對提價的抵制，也註定了老小區的物業即使更換也很難有質的提升。

在二手房交易中，很多購房者往往被低價所蒙蔽，忽略了很多重要的地方，導致後患無窮。那麼我們在二手房交易中，需要注意些什麼呢？

二手房交易注意事項

一、產權清晰

產權證上的房主與賣房者是否一致；搞清楚所賣房屋的性質；產權證上所確認的面積與實際面積是否相符；驗證產權證的合法性與真實性。其次，要判斷其房產有沒有抵押，包括私下抵押、共有人等。以避免在過戶後出現不必要的爭議與糾紛。

二、房屋質量

觀察房屋的結構，建築與裝修材料。看房屋的內外部結構是否被改動過；是否有私建部分；是否有佔用走廊或陽台等；牽涉到陽台的面積怎麼算的問題。

三、居住空間

觀察房屋的內部結構是否合理；是否適合居住；活動空間大小等。

四、裝修配置

看原房屋裝修的水平、程度如何；確認房子的供電設施、供氣管道、水管等是否有老化現象；電話線、寬頻的安裝是否完備等。

五、物業管理

了解該區水、電、煤、暖的價格及繳費方式，是上門代收還是自己去繳；觀察電梯是否可以正常使用；了解該區的停車場、小區綠化的基本情況；

六、房屋歷史

了解該房是哪年蓋的，還用多久的土地使用期限；有哪些人住過，有什麼用途，房屋與住客是否曾發生過意外事故；還有原住戶在當地的信用情況；是否有欠交物業費、水電費等。

七、房屋價值

通過對市場上的功放的反覆比較判斷房屋的價值；委託信得過的中介公司進行價值評估；銀行提供按揭時會作出價值評估，這個價格可以看成房屋的最低保值價。

八、產權交接

需要找個雙方都信得過的單位，如信譽較好的擔保公司，等過戶完成後再將房款轉入賣方賬戶。

除過以上問題，在二手房交易流程結束後，還有以下幾個容易被忽略的小問題需要注意：

1、看清交房清單

2、檢查單位室內各項設施是否有質量問題

3、收樓證明是否齊全

4、戶籍是否遷出

5、發票是否齊全。

6、結清水表賬單，告知電錶情況

7、天然氣過戶

8、結清網費和電話費

9、協助有線電視過戶

那麼數學在哪呢？

很多人覺得二手房很便宜對不對，但是不然，二手房的成本其實很高！舉個例子簡單說一說吧

二手房的購房成本除了房款總結之外還要包括中介公司服務費。而中介的服務費可能要佔到成交總額的2.5%至2.8%之間。另外，在所購買的二手房拿到房產證的時間沒有超過5年的情況下，還要繳納契稅1.5%、營業稅5.5%和所得稅1%等費用。如是貸款買房，要增加1000元——3000元之間的費用，同樣會增加購房者的購房成本。

給大家分享一個二手房的稅費（以140平為例）

以上內容全部出自我的公眾號：鄰里說房。

購房者在購房上會面對很多大大小小的購房問題，就不一一說了，房地產的問題上有不懂的小夥伴，可以找我聊聊。

著作權歸作者所有。商業轉載請聯繫作者獲得授權，非商業轉載請註明出處。

2017noip。。。。。
第一期
問候一下出題人一家哦～

雙十一的時候，購買東西一直沒算明白。

當然是

教我弟解一元二次方程的時候啊

看他看我崇拜的小眼神

心裡真的不要太爽！

(??ω??)?

各位仙女不要學我熬夜
今晚是個例外
我懺悔

雙十一來臨，各大商家做活動，套路滿滿，為了讓大家更爽快的剁手，都是優惠券滿減，什麼滿159減50，滿199減50，滿128減60……到底哪家更划算，決定給自己研究一個雙十一囤貨清單，過一個真正意義上的雙十一，算來算去發現自己的數學都還給老師了，不怪雙十一燒腦，只怪數學沒學好，原來學好數學可以省錢，數學教我溫柔的剁手！

明知沒用，可不知為什麼我就是喜歡，就是能讓我沉靜，就是能讓我開心的時候

NOIp2017 d1t1

強答一波，雖然只是用了初等數學~

么有人回答是今年的雙十一嗎

在雙十一剁手算優惠力度的時候。

最典型的應用就是炸金花了，概率論的概率計算可以用於炸金花的概率分析。我分析了各種牌數的概率情況，幾乎都是贏錢的哦。主要是從牌型的概率方面來分析，還有就從其他因素來談談詐金花技巧。首先澄清，該項遊戲的核心還是心理戰術，這裡只是在概率範圍內進行解釋。52張牌一共會有52`"`51""`50!(3 "`2)=22100種組合豹子的概率:每一個數字可以有4種豹子組合，一共13個數字，因此為52種組合，概率52/22100，平均400多次才會出現一次。

同花順的概率:每一個花色可以有12種同花順組合，一共四種花色，因此為48種組合，概率為48/22100，分子要比豹子小，雖然相差很小，但是還是證明了同花順的確概率較高。