無窮大必無界，但反之不真？

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謝邀

1、問題釐清

• 無窮大是函數

函數有三要素，定義域，映射性質，值域；其中映射性質最能代表一個函數。而無窮大是這樣一個函數：令函數的自變數 x 往一個目標值 a 運動，若函數在某點 x0 函數值記作 M，當自變數x 比 x0 更加接近目標值 a 時，總能取到一個點使得函數值比 M 值要大。

凡是有這樣映射性質的函數就是無窮大，而這樣的性質我們可以用極限過程來描述，所以可以寫成以下形式：

• 有界（or無界）是函數的性質

函數性質包括：單調性、周期性、有界性、奇偶性、連續性等等，就不贅述了。

所以，暫且認為，準確的問題形式就是：

證明：無窮大函數必定是無界的，而無界的函數不一定是無窮大函數。

2、回答思路

要證明這種「······不一定······」的命題，要麼假設「···一定是···」，用反證法；要麼就構造性地找一個反例就好。問題是，我們有沒有既定的思路去找這樣的反例：即一個函數無界但是卻不是無窮大。

我們可以這樣想，首先這個反例肯定在不是無窮大的函數裡面找，而我們知道無窮大可以用極限過程來定義。那麼一個極限過程可以有什麼結果呢？

• 極限過程確定有限的實數 ——收斂
• 極限過程確定無窮大 ——發散
• 極限過程沒有結果 ——振蕩

顯然，收斂不可能無界，那麼結果很明顯，我們只能在振蕩類裡面找了。

以下就是一個無界的振蕩的例子：

函數 f(x)=x·sinx 的圖象如下：

顯然，函數 x·sinx 是無界的。只要注意到，sinx 是有周期的，每個周期里有個峰值（為1），則在每個峰上，x·sinx 就是 x 本身，而定義域 x∈R，由阿基米德公理知沒有上界。

我們對該函數取極限過程，但這個極限過程是不存在極限的（即使無窮也不存在）。因為 x 趨於+∞時，函數值在 +∞ 和 -∞之間振蕩，由極限存在的唯一性，這種「振蕩」的極限過程沒有極限。所以也不會是無窮大函數，因為它不符合前面說的那種映射性質。

3、結論

無窮大是函數，可以用極限過程定義（我們可以把有限極限和無窮大合併，而看成廣義極限）。那麼廣義極限不存在的振蕩類型的函數，自然就不是無窮大。但振蕩類型的函數是可以無界的，此即反例。

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無界是不存在最大值，無窮大是對任意大的數，只要自變數取某個數，往後就比這任意大的數要大。例如對非整數取0，對整數取其自身，這就構成無界，但不是無窮大。

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數列1,0,2,0,3,0,.......n,0 這個數列是無界的吧，可是它不是無窮大。不知道對不對

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不是很清楚，湊合看一下吧⊙﹏⊙

而且我還有個問題啊如下圖

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