增加一個維度可以解決問題，有哪些經典案例?

12-07

比如在線段AB上有一點C(便於理解，假設為中點吧)，無論向A還是向B，都拿不出來，但是增加一維空間，在二維平面，就容易從線段中出來了，二維到三維也是一樣。
在科學研究中，可能會遇到困難，這時引入一個新的維度（比如隨時間變化的量）往往也會起到意想不到的效果，大家還有那些這方面的案例可供參考嗎？可以說是一種表面上使問題複雜，實際上卻起簡化作用的這樣的一種觀察角度。

增加一個維度的例子太多了，分析和幾何里到處都是，個人最喜歡的例子是高斯積分：

$A=int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}mathrm{d}x$
似乎並不會積，但我們增加一個維度y，變為
$A^2=iint_{-infty}^{infty}e^{-x^2-y^2}mathrm{d}xmathrm{d}y=int_{0}^{2pi}mathrm{d} hetaint_{0}^{infty}rmathrm{d}re^{-r^2}$
就很容易了，解得 $A^2=2pifrac{-e^{-r^2}}{2}igg|_0^{infty}=pi$ ，即 $A=int_{-infty}^{infty}e^{-x^2}mathrm{d}x=sqrt{pi}$
（當然出於嚴格性的要求其實還要用極限逼近一下）

稍複雜一點的實數積分或求和，很多都可以延拓到複平面上用複變函數的方法做。

不過這裡還想講兩個更有趣的例子，

一是最近物理中比較時髦的一個概念——對稱性保護拓撲相，其實和題主的描述非常像：

這個涉及到相（phase）的分類問題，在一些系統里由於某種對稱性的存在，右圖中兩相只能在g1軸上移動（例如說，g2恆等於0），想要相互轉化必須要經過一個相變點，然而如果我們以某種方式破壞這個對稱性，使得g2可以變動，那麼這兩相就可以在整個參數平面（而非單參數軸）內連續地、不經過相變而相互轉化，那麼它們事實上成為了一個相。

第二個例子比較玄幻，題主問增加一個維度解決問題，事實上可以還增加非整數的維度，便是傳說中的維度正規化[1]，『t Hooft和Veltman利用維度正規化證明了非阿貝爾的Yang-Mills場論可重整[2]，並因此獲得1999年諾貝爾物理學獎[3]。

[1]Dimensional regularization

[2]Regularization and renormalization of gauge fields

[3]The 1999 Nobel Prize in Physics

生成高斯分布隨機數的Box-Muller演算法。
詳見：Java中Random類產生服從標準正態分布的隨機數是什麼原理？ - 數學

在一維中，若要生成一個高斯分布隨機數，需要計算高斯分布的累積分布函數的反函數，而這個函數是沒有顯式表達式的。
但二維高斯分布經過Box-Muller變換可以變成均勻分布，於是就可以先生成兩個均勻分布的隨機數，再變換成兩個高斯分布的隨機數了。

機器人里到處都是通過改變維度實現降維打擊的例子：

1. 七軸機械臂

一般傳統的工業機械臂都是六軸的：

這樣，基本上在它們工作空間內的任一位姿都是可達的（末端姿態也是六維的x,y,z+roll,pitch,yaw）。

然而，如果我們想讓機械臂末端走一個軌跡，工業上的做法一般是直接離散化軌跡點，然後求一堆逆解。由於機械臂的逆解在空間上是離散分布的。所以，基本上在確定起始狀態的時候，機械臂走的末端軌跡是確定的。這樣就沒法避開障礙物等問題。

上面的話換成人話就是：對於一個給定的末端軌跡（如焊接軌跡），機械臂每個關節的運動基本是確定的。

這樣，如果中間有障礙物、奇異點等，機械臂就沒法避開了。

於是，後來有了七軸機械臂：

這樣會有一個好處：一個確定的末端姿態，有無窮多組關節角度與之對應：

這樣就有一個好處，那就是機械臂在走一個固定的末端軌跡的時候，關節軌跡是可以有無窮多的，這樣就能實現在保證末端軌跡的同時，實現避障，避奇異點等二次任務。

補個示意圖吧：

另外，一個有趣的現象：人的手臂也是七自由度的：人的手臂有幾個自由度？

2. 任務規劃

如上圖所示，如果我們想讓這個機器人運動到圖像上方的點。由於中間的路被桌子擋住了，所以機器人肯定是沒法完成這個任務了。也就是說，這個問題在目前的狀態下無解。

但是，我們只要給這個任務增加一個維度：桌子的角度。

這樣，機器人就能通過在這個增加的維度上運動（旋轉桌子），從而解決這個問題。

除了上面兩個，還有很多其他好玩的例子，就先不列了。

想起了nullstellensatz的一個tricky 證明
定理的Statement是：假如 $g,f_1,...,f_sin K[x_1,...,x_n]$ ，則 $gin ext{Rad}(f_1,...,f_s)$ 當且僅當 $V(g)supset V(f_1,...,f_s)$

tricky proof：（It"s called Rabinowitsch"s trick) 考慮 $f_1,...,f_s,1-gzin K[x_1,...,x_n,z]$ （增加一個維度），則 $mathbb A^{n+1}$ 中每一點，這些函數都不同時消失，所以他們生成了整個環，特別的 $1=H_1(z)f_1+...+H_s(z)f_s+H(z)(1-gz)$
現在考慮 $K[x_1,...,x_n]$ 代數同態把 $z$ 送到 $frac{1}{g}$ ，則 $1=H_1(1/g)f_1+...+H_s(1/g)f_s+H(1/g)(1-1)$
$1=H_1(1/g)f_1+...+H_s(1/g)f_s$
現在選一個足夠大的 $N$ 使得 $g^N$ 可以kill所有的分母，我們就得到 $g^N= ext{something} imes f_1+...+ ext{something} imes f_s$ 所以 $g$ 在radical里。

4維共形理論可以通過升一維在5維ads空間里研究, 可以再升一維再嵌入6維閔氏空間（度規（－，－，＋，＋，＋，＋））研究, 因為四維的conformal group和六維的對稱群同為SO(4,2)

另外, 通過切割6維ambient space的光錐, 可以得到circle－de sitter space, parabola－minkowski space, hyperbola－anti de sitter space

以上的結論可以推廣到一般的d維, d＋2維光錐可以推廣為Fefferman-Graham space

開普勒問題中的hidden symmetry可以通過hodograph的球極投影來理解

其實數學裡面還有一個方向可以增加維度。我們知道 $Spec mathbb{Z}$ 是一維的，很多時候我們可以利用這個維度。

動力系統中重要定理是說：如果 $f$ 是 $mathbb{P}^N$ 到自己的全純映射，那麼 $f$ 的周期點是Zariski意義下稠密的。換句話說，就是不存在 $mathbb{P}^N$ 中的超曲面能蓋住所有 $f$ 的周期點。

這個定理的證明是這樣的。首先利用Hrushovski的定理，可以在有限域上證明這個定理。
然後我們增加一個維度。為簡單起見我們假設 $f$ 的係數都是整數。然後就把 $f$ 看成定義在 $Spec mathbb{Z}$ 上的一族子映射。在他的一根special fiber $mathbb{P}^N_{F_p}$ 上， $f$ 是定義在有限域上的自映射，所以定理成立。而且容易證明所有周期點都是孤立的。但是如果我們把f看成一族 $mathbb{P}^N$ 上的自映射的話，他在 $mathbb{P}^N_{mathbb{Z}}$ 上周期點的每個不可約分支都至少有一維。所以我們可以把special fiber上的每個周期點，提升上這一族自映射的周期截面。這樣就對應到它generic fiber上的周期點。從而就能證明定理了。

講幾個代數幾何的。（以下的下劃線句子為我們所證明命題的結論）

1. 把交集放在diagonal 里看：給定X的兩個子集U和V, 考慮 $Delta={(x,x):xin X}subseteq X imes X$ , 我們有自然的同構： $Ucap Vcong(U imes V)cap Delta$ 。然而 $Delta$ 往往是個很好的子集，且cartesian product通常比交集的behavior要好得多。
應用：
(a) 假設我們已經證明了任何r維(irreducible quasiprojective) variety in $mathbb P^n$ 與一個hyperplane取交集以後，如果交集非空，每個component的維度都至少是r-1. 我們現在要證明在X= $mathbb P^n$ 中，一個codimension為r的variety U和一個codimension為s的variety V的交集中每個component (if any)的codimension至多為r+s. 考慮 $Ucap Vcong(U imes V)cap Delta$ ，這裡UxV的維度是(n-r)+(n-s)=2n-r-s， $Delta$ 的維度是n, 於是在 $X imes X$ 中的codimension為2n-n=n, 所以 $Delta$ 可以寫成n個hyperplane的交集。所以根據假設中關於hyperplane的結果，UxV交上 $Delta$ 以後每個component維度至多會下降n,所以 $dim Ucap V=dim (U imes V)capDeltageq (2n-r-s)-n=n-r-s$ , 其在X中的codim至多為r+s.

(b) 一個quasi-projective variety X中兩個affine subvarieties U, V的交集依然affine. 這裡用到的fact是quasi-projective variety is separated, 也就是說 $Delta$ 在 $X imes X$ 中是閉的。所以 $(U imes V)cap Delta$ 在UxV中是閉的。而UxV作為兩個affine的乘積依然是affine的，而affine variety的閉子集依然affine, 所以 $(U imes V)cap Delta$ 是affine的。由於仿射性是被同構保持的，U∩V也是affine的。

(c) Remark: 這個思想在交換代數也會用到。有一個定理是如果F是個flat module over a ring R, N,N" are submodules of a module M over R, then tensoring with F preserves intersection, i.e. $(Ncap N$ （注意它為何make sense：因為F flat，我們可以把 $Notimes_R F,;N$ 和 $(Ncap N$ 都看成 $Motimes_R F$ 的submodule. )

我們還是把N∩N"做類似如上的替換： $Ncap N$ 。這裡 $Delta$ 要理解成 $Moplus M o M, (x,y)mapsto x-y$ 的kernel. 所以 $(Noplus N$ 可以理解成 $Noplus N$ 的kernel. 由於tensor with flat module是preserves kernel的，而tensor也保留直和，所以說tensor with F保留「取交集」的運算。具體而言，我們有Mayer-Vietoris類型的exact sequence
$0 o Ncap N$
第二個箭頭是x--&>(x,x), 第三個箭頭是(x,y)---&>x-y。Tensor了F以後，sequence
$0 o (Ncap N$ 依然是exact的。所以 $(Ncap N$ 是最右邊的箭頭的kernel, 恰好就是 $Notimes_R F,;N$ 的交集。

2. 有時研究射影空間 $mathbb P^n$ 中的variety時，提高一維去看affine cone有奇效。比如我們已經證明了n維affine space中，兩個codim為r,s的varieties 交集的每個component的codim至多為r+s. 注意這裡不保證交集非空：兩個3維空間中的二維曲面可以不相交，但定理保證一旦相交至少得是交線，不能有個單獨的交點。然而n維射影空間只要交集「應該有的codim"即r+s不超過n，那麼就能保證交集非空。證明如下：考慮這兩個varieties的cones, 它們在 $mathbb A^{n+1}$ 中的codim依然為r和s. 所以交集每個component的codim至多為r+s, 不超過n. 所以每個component的dimension不少於(n+1)-n=1。由於我們已知兩個cones必交於原點，交集非空，故包含一條線。特別地，它包含一個原點以外的點，這個點對應在射影空間中就是原varieties的一個交點。

3. 用映射的圖像研究映射。考慮映射 $f:X o Y$ ,定義圖像為 $Gamma_f={(x,f(x):xin X}subseteq X imes Y$ ，定義投影映射 $pi_Y:X imes Y o Y$ , 則f的像正好就是 $pi_Y(Gamma_f)$ . 如果我們知道 $Gamma_f$ 在XxY中總是閉的（這個非常好滿足，比如當Y是separated (or Hausdorff in topology scenario)且f是regular (or continuous, resp.)），那麼要證明f(X)在Y中是閉的，只需要證明 $pi_Y$ 是閉映射就足夠了。這樣我們可以用一個不取決於f的性質(投影映射是閉的）來得到一個對任意f:X o Y都對的性質（ f(X)是閉的）。幸運的是，在X是projective variety, Y是quasi-projective variety的情況下， $pi_Y$ 是閉的。所以我們獲得Closed mapping theorem: 從projective variety到quasi-projective variety的morphism永遠是閉映射。

某些時候應用這個定理時也要用到「lift去高維」的思想：比如考慮projective space P^n的一個閉集X, 問有哪些k維平面與它相交？注意到P^n中的所有k維平面的collection可以用一個叫Grassmannian Gr(n+1,k+1)的projective variety來描述。結論是與X相交的k維平面組成Gr(n+1,k+1)的一個閉集。第一想法是想把"k-平面與X相交"這個條件用方程刻畫，然而發現直接做是做不到的，因為平面和X相交的交點可以在任意位置。於是我們考慮所有pair (x, L), 其中x是X的點，L是過點x的k-平面，所組成的集合 $I$ (incidence relation). 這個集合 $Isubseteq X imes Gr(n+1,k+1)$ 是閉的，因為x在L上這個條件可以用一個方程來刻畫。然後考慮投影 $pi: X imes Gr(n+1,k+1) o Gr(n+1,k+1)$ , 由於X是projective variety, $pi$ 是閉的，於是 $pi(I)$ 也是閉的。而 $pi(I)={Lin Gr(n+1,k+1):L=pi(x,L$ ,恰恰就是所有與X相交的k-平面的集合！

4. Veronese embedding：把一個射影空間 $mathbb P^n$ 嵌入更高維的射影空間中，這樣 $mathbb P^n$ 中由d階齊次多項式決定的hypersurface就會變成一個hyperplane. 一些關於hypersurface的定理往往能化簡到hyperplane的情況。而由於hyperplane同構於是 $mathbb P^{n-1}$ ,且它的補集同構於 $mathbb A^n$ ,性質比一般的hypersurface要好得多。(這塊學得不好，還沒回想起例子。。）

$I=int_0^{infty} int_0^{infty} ldots int_0^{infty} frac{dx_1 dx_2 cdots dx_n}{(f(x_1) + f(x_2) + ldots + f (x_n))^{k+1}}=?$

注意到

$int_0^{infty} t^k e^{- t (f(x_1) + ldots + f(x_n))} dt = frac{Gamma(k+1)}{(f(x_1) + ldots + f(x_n))^{k+1}}$

其中 $Gamma(z) = int_0^{infty} t^{z-1} e^{- t} dt$ , $Gamma(k+1)=k!$

所以

$I=frac{int_0^{infty} int_0^{infty} ldots int_0^{infty} {dx_1 dx_2 cdots dx_n}int_0^{infty} t^k e^{- t (f(x_1) + ldots + f(x_n))} dt}{k!}=frac{1}{k!} int_0^{infty} t^k left( int_0^{infty} e^{- t f(x)} dx ight)^n dt .$

(以上f(x)為正值連續函數，積分上限可以改動)

為什麼沒有人說這個？

圖來自於網路，侵刪

+1維的巧妙栗子：含參數積分，同倫（提升）。

講一個非常非常初等的問題：
是否能在n維線性空間里找到n+1個點，這n+1個點兩兩距離相等？
這個題目在n較小時很好構造，譬如在三維空間里弄個正四面體，在二維空間里弄個正三角形。而對高維的情況，直接對坐標進行構造是不那麼平凡的(雖然也不太難)。

但是，如果要求在n+1維空間里找n+1個點滿足此條件卻是不難的，只要使這n+1個點分別是：
(1,0,0,0,...,0,0)、
(0,1,0,0,...,0,0)、
(0,0,1,0,...,0,0)、
......
(0,0,0,0,...,0,1)，
也就是n+1個標準單位向量對應點即可(或者說n+1階單位陣(行/列)向量)。它們兩兩距離為sqrt{2}。

注意到，雖然這n+1個點是在n+1維空間構造的，但實際上卻在一個超平面上：
這個超平面是x1+x2+......+x(n+1)=1
所以這n+1個點實際上相當於在n維空間中。
那麼原命題自然是成立的。

機器學習做feature transformation，把不能線性分開的類別變得可以線性分開。

准晶，平移對稱性破缺，准周期點陣可由更高維度的周期點陣投影而成。

level set method（fast marching）？

最優化理論裡面的lagrange乘子法，通過把每個約束變成一個增加的優化變數（維度），最後問題變成一個無約束的最優化問題，可以用無約束最優化問題的求解方法求解。

水平集，level sets

舉個有點牽強的例子，Blowing-up。
最簡單的情況，一個複流形沿著一個單點blow-up就相當於在那個點處加一個射影空間，可以看做全純切空間的射影化，也就是把原來的余維數很高的單點換成一個余維數是1的除子。
Blow-up在代數幾何里的用途太多了，比如Hironaka的奇點消解可以把帶奇點的簇在雙有理的意義下調整成光滑的，以及Kodaira把嵌入定理化成Kodaira消失定理的平凡推論。

二維波方程的降維法：

三維球對稱的波方程
$frac{1}{a^2}frac{partial^2u}{partial t^2}=frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r}left( r^2 frac{partial u}{partial r} ight)$
可以化成
$frac{1}{a^2}frac{partial ^2 left( ru ight)}{partial t^2} = frac{partial^2left(ru ight)}{partial r^2}$
從而把三維問題化為在一維中解 ru 的問題。
然後用球面平均法就可以解非球對稱的一般情況。

可是二維並不能化成這種形式，那怎麼辦呢？那就解一個三維空間中在z方向均勻分布的波方程。

四元數！

這種技術在分析學中如此普遍且強大有力，怎麼翻了半天沒人提……那放著我來吧＠(￣-￣)＠

在分析學中，增加維度往往意味著對「一族」與原問題類似的式子或命題同時考慮。再借用分析中的技術，哪怕最幼稚地使用積分，都可以得出很不平凡的結論。

比如一個小問題：A(k)為一列實數，且∑kA(k)sinkx≥0對x屬於[0，π]都成立(累加是對k進行，從1到某個有限的正數n)，求證∑A(k)sinkx≥0對x屬於[0，π]也成立。

解法如下：考慮 ∑kA(k)r∧k(sinkx) ，r屬於[0，1]，注意到這是一個多項式的虛部，是調和函數，使用調和函數的最小值原理於區域｛1≥r≥0，π≥θ≥0｝，由條件可得，函數在邊界≥0(θ＝0或π顯然成立)，故整體也≥0，之後對式子除以r，再對r從0到1積分，也≥0，這就是題目想求的了。

哈哈，很可愛的小結果對吧。

但千萬別輕視小小一個r的引入，在Fourier級數理論中引入r，並注意到和複分析的聯繫，如同剛才那個小問題里考慮的，這幾乎已經包含了讓Hardy、Riesz兄弟等分析學大師名揚天下的復Hp空間理論的雛形了。