x=a，a為常數，這個圖像是連續的嗎？

12-27

原本在討論這個問題：

一開始在討論continuous mapping。教授(非數專)畫了這個圖問我們連不連續。我提出這不是函數，教授說它是多值函數。然後映射似乎沒有硬性規定不能一對多？
然後根據連續定義如果極限取最低點和最高點，那中間這一段存在與否不影響證明過程，顯然不連續。但有同學提出把極限點取在中間這條豎直線上，上下兩邊逼近。我直覺上覺得肯定不對，但不知道應該怎麼反駁。進而感覺這個問題其實是在討論當x=a的時候這條豎線能不能看作continuous mapping。
討論背景不局限於函數連續性吧，是從點列趨近於極限點的定義出發的。
煩請各位大佬不吝相助_(:з」∠)_ 我們都不是數專，這問題可能也顯得特別…愚蠢…各位見笑了(

@dhchen 的評論區里題主提到教授是做博弈論的……

搞博弈論的難道不是都管這個叫correspondence嗎……

@dhchen 的評論區里 @vita nova 還提到：

不只是博弈論，基礎的比如the maximum theorem就有說滿足定理條件時最優選擇是上半連續的；具體應用的話，馬歇爾需求和希克斯需求都是上半連續的

我覺得是因為這些說白了都是在刻畫Best Response，然後由Best Response推均衡存在需要用到 @dhchen 提到的不動點定理，因而就要求上半連續咯。

謝邀，這個問題其實不蠢，而且我覺得大部分數學本科生大概也不知道這個東西。研究這種一對多的分析學叫「多值分析」，在這個門類定義下這個「函數「是上半連續的而且這類是最典型的上半連續。請和一般意義上的單值泛函的上（下）半連續區別開，這兩者名字一樣，但是不是一回事。上半連續多值映射是非常重要的一類映射，K. Deimling的教材管它叫multi而不是mapping，我這裡偷懶一下，就叫映射了。( @Richard Xu 提醒到搞經濟學的管這個叫correspondence）

這種映射在博弈論中具有非常基礎的的作用，因為一個鞍點問題可以轉化為一個多值映射的不動點問題。上半連續性可以保證一類不動點成立。比如，下面的Brouwer不動點定理的多值推廣(Kakutani fixed-point theorem)：

設 $Omega$ 是 $mathbb{R}^n$ 中的有界凸閉集，而映射 $F:Omega o 2^Omega$ 是一個上半連續，而且對於任意 $omegain Omega$ , $F(omega)$ 是非空凸閉集，那麼它有一個不動點 $xin F(x)$ 。

對於一個多值映射 $F:Omega o 2^X$ , 對於此類多值映射，我們首先定義如下的原像：

$F^{-1}(A)={omegain Omega; F(omega)cap A eq emptyset}.$

然後我們可以如下定義上（下）半連續性

有些教材用hemicontinuous而不是用semicontinuous 來表示多值映射的「半連續「。

再重複一次，上半連續(u.s.c.) 是這樣定義的，對於任意閉集 $A$ , $F^{-1}(A)$ 是一個閉集。如果這個映射是但值的，那麼我們可以發現上（下）半連續就是連續。對於上半連續，我們有下面的等價刻畫：

你給的例子，是上半連續而不是下半連續的，也有下半連續，但是非上半連續的例子。比如

上半連續還可以通過 $epsilon-delta$ 語言刻畫，如果 $T(x)$ 是緊的，那麼它等價於下面的刻畫：設 $omega_0in Omega$ , 對於任意 $epsilon$ , 存在 $delta>0$ 使得

$T(omega)subset T(omega_0)+B_epsilon(0) quad forall omegain B_delta(omega_0)$ 成立。

另一個等價刻畫是這樣的 $lim omega_n=omega, quadlim b_n=b Rightarrow bin T(omega_0)$

事實上，類似於 $F(omega)=[psi(omega),varphi(omega)]$ 的多值映射是典型的上半連續函數，這這個例子中你可以認為 $psi(omega)= y_2chi_{omegaleq a}+ y_2chi_{omega>a}$ , $varphi(omega)= y_2chi_{omega< a}+ y_2chi_{omegageq a}$ .

PS: 題主說自己的教授是做博弈的，那麼他知道這種連續性是不奇怪的，這是他吃飯的傢伙。當然了，大部分學過非線性泛函分析的人都應該知道這種映射。

Real Analysis with economic application, EFE A. OK

Chapter E Continuity II

這本可以說是另一本數理經濟的聖經了吧

你應該和教授說，我們只學了單值函數連續的定義，請問多值函數連續的定義是什麼

x從a左邊趨近和從a右邊趨近的極限值不一樣

一維線是零維質點在一個方向的集合，質點沒有寬度，所以中間那條線不存在的

我不回答那麼複雜，簡單說，這個圖像不連續。

映射沒有硬性規定多對一，但映射的定義的確規定了不能一對多。。。

In mathematics, the term mapping, usually shortened to map, refers to either a function, often with some sort of special structure, or a morphism in category theory, which generalizes the idea of a function. There are also a few, less common uses in logic and graph theory.（映射和函數幾乎相等）

In mathematics, a multivalued function (short form: multifunction; other names: many-valued function, set-valued function, set-valued map, point-to-set map, multi-valued map, multimap, correspondence, carrier) is a left-total relation(that is, every input is associated with at least one output).

In the strict sense, a well-defined function associates one, and only one, output to any particular input. The term "multivalued function" is, therefore, a misnomer because functions are single-valued. Multivalued functions often arise as inverses of functions that are not injective. Such functions do not have an inverse function, but they do have an inverse relation. The multivalued function corresponds to this inverse relation.（多值函數不屬於函數）

PS：我也不是數專，本回答僅供參考