計算根號下1+根號下2+根號下3......等於多少？

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計算根號下1+根號下1+根號下1......等於多少？ - 科學
受上面這個問題啟發，我算了一下下面這個式子的值： $au=sqrt{1+sqrt{2+sqrt{3+sqrt{4+cdot cdot cdot } } } }$
1~8時，值分別是1，1.55377，1.71226，1.74876，1.75623，1.75764，1.75788，1.75792……越來越接近一個極限。那麼怎麼證明它有極限？怎麼求這個極限？

謝邀，本來想了很久，沒有任何成果，於是隨意Google了一下，結果發現還有個定理 Herschfeld"s Convergence Theorem -- from Wolfram MathWorld
定理（Herschfeld）：數列 $(a_1+(a_2+(a_3+cdots+(a_n)^p)^p)^p)^p$ 收斂當且僅當 $limsup_{n ightarrowinfty}(a_n)^{p^n}$ 有界，其中 $0< p< 1$ ， $a_ngeq 0$ .
具體到這個問題，就是 $limsup_{n ightarrowinfty}(n)^{(1/2)^n}=e^{limsup_{n ightarrowinfty}frac{ln n}{2^n}}=1$
所以這個數列收斂，收斂到的數值沒法用根號表示，一般記為 $au$ ，具體可以看這個A C program to calculate the value of tau

把這個值除以2。就得到了 $sqrt{frac{1}{4}+sqrt{frac{2}{16}+sqrt{frac{3}{256}+cdots}}}$ ，顯然小於樓主引用的那個 $sqrt{1+sqrt{1+sqrt{1+cdots}}}$ 。而後者可以用歸納法證明收斂。

我在證明中給出一個更一般的結論。單調有界就很顯然了，從而有極限。證明過程見圖：

求極限值的話，我嘗試了很多方法，但感覺並不能簡單表示。

不知道這樣做對不對