如何解釋洛必達法則？

12-27

17世紀的貴族子弟洛必達曾經說過：人這輩子一共會死三次。

第一次是你的心臟停止跳動：那麼從生物的角度來說，你死了。
第二次是在葬禮上：認識你的人都來祭奠，那麼你在社會上的地位就死了。
第三次是在最後一個記得你的人死後：那你就真的死了。

為了知行合一，洛必達從數學家伯努利手中重金買下了一個知識產權，伯努利收穫了金錢，也付出了後悔。

這次交易的內容就是我們今天要講的，以洛必達的名字命名的洛必達法則。

1 洛必達法則

洛必達法則（l"H?pital"s rule）是利用導數來計算具有不定型的極限的方法。這法則是由瑞士數學家約翰·伯努利（Johann Bernoulli）所發現的，因此也被叫作伯努利法則（Bernoulli"s rule）。
維基百科

不嚴格的說，洛必達法則就是在 $0/0$ 型和 $infty /infty$ 型時，有 ${displaystyle lim _{x o a}{frac{f(x)}{g(x)}}=lim _{x o a}{frac{f$ 。

可見，洛必達法則最犀利的是大大簡化了極限運算。這種化繁為簡的技術手段從來都是深受喜愛的。

這篇文章我們主要回答一下兩個問題：

為什麼洛必達法則對於 $0/0$ 型和 $infty /infty$ 型生效？
洛必達法則對於別的類型是否生效？

1.1 構造關鍵函數

我們令 $u(x)=(g(x),f(x))$ ，為了閱讀順暢，這個函數我要多解釋下。

對於一般我們接觸的函數，比如 $f(x)=2x, xin R$ ，根據函數定義，這是一個 $R o R$ 的映射：

而 $u(x)=(g(x),f(x))$ 是一個 $R o R^2$ 的映射：

$u(x)=(g(x),f(x))$ 可以如下表示：

做出 $A$ 點的割線：

割線的極限即是切線，大家可以感受一下：

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所以可以得出切線的斜率即導數為：

通過坐標軸的原點 $O(0,0)$ 連接 $B$ 點，馬同學把這個連線稱為原點線：

通過構造關鍵函數 $u(x)$ 我們得到兩個的結論：

$u$

原點線斜率為 $frac{f(x)}{g(x)}$

根據洛必達法則： ${displaystyle lim _{x o a}{frac{f(x)}{g(x)}}=lim _{x o a}{frac{f$ 。可見，構造關鍵函數之後，我們已經有了 $frac{f$ 和 $frac{f(x)}{g(x)}$ ，剩下的就是看這兩者什麼時候極限相等了？

1.2 $0/0$ 型

我們讓 $u(x)$ 曲線可以經過 $O(0,0)$ 點：

分別做出割線和原點線：

容易觀察到， $A$ 點越靠近原點，割線和原點線越接近：

可以動手試試：

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$A$ 點和 $O$ 點重合時，割線就是原點線：

$A$ 點和 $O$ 點重合時，割線斜率就是原點線斜率，即 $frac{f(x)}{g(x)}$ 。根據割線的極限即切線，有 $displaystyle lim _{x o a}{frac{f(x)}{g(x)}}=u$ ，根據之前的結論有 $u$ ，所以 $displaystyle u$ ，所以有 ${displaystyle lim _{x o a}{frac{f(x)}{g(x)}}=lim _{x o a}{frac{f$ ，即洛必達法則。