Kenji Fukaya在數學上的主要貢獻在哪裡？成果和田剛李駿他們相比怎麼樣？

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如何評價Kenji Fukaya的數學貢獻？博一剛入學老闆給了Fukaya的兩篇文章，老闆很推崇他，我太弱還不太懂這些，看Fukaya和華人幾何圈交流還挺多的，請問各路大神Fukaya主要的學術貢獻在哪裡，和華人幾何屆比較有名的幾位Tian，Li還有LKF,CXX比怎麼樣？

許多不了解Fukaya的人都認為他一開始是做辛幾何的，其實不然：他早年在Riemann幾何上的工作絕不比他在辛幾何上的工作差。因為他在Riemann幾何上的卓越貢獻，1990年只有31歲的Fukaya就已經在ICM給talk。

舉個例子，Fukaya在度量幾何上證明了一個非常漂亮的定理，現在叫做Fukaya fibration。

Fukaya fibration theorem 假設 ${M_t,t>0}$ 是一族sectional curvature有上下界的Riemann流形，在Cheeger-Gromov意義下collapse到Riemann流形 $N$ 。則當 $tgg 0$ 時， $M_t ightarrow N$ 是個fiber bundle。

後來這個定理又有一些推廣。這個定理的妙處在於它和SYZ mirror symmetry其實有關。有個方向是mirror symmetry和度量幾何的聯繫，在這個方向上活躍的人有Mark Gross，Yuguang Zhang，Tosatti等等。大體說來，假如CY上存在special Lagrangian torus fibration $X ightarrow B$ ，則在large complex structure limit $(X,g_X)$ collapse到 $(B,g_B)$ ，其中 $g_B$ 在singular fiber處有singularity。因此，SYZ fibration可以解釋為特殊的Fukaya fibration。當然，Fukaya的原始證明了假設了sectional curvature bounded，但此時我們只知道Ricci flat，所以原先的方法是沒辦法證明這個定理的。（我建議研究Riemann幾何的同學考慮一下這個方向，可以學不少東西）

Fukaya在辛幾何上的貢獻主要有：

1. 提出了Fukaya category的定義。但是他在93年的定義是不嚴格的，問題在於要在模空間上要選取compatible的perturbation data，這是個組合數學的問題。定義在2008年被Seidel嚴格化了。

2. 和Ono合作證明了general symplectic manifold上弱版本的Arnold猜想，此猜想同時被Liu-Tian證明。從exposition的質量上看，我感覺Fukaya-Ono的文章寫得更細緻更清楚。

3. 提出研究family Floer theory並證明了一些關鍵結果。最近Abouzaid發展了Fukaya的想法對於存在Lagrangian torus fibration (without singular fiber)的辛流形 $M ightarrow B$ ，如果 $pi_2(B)=0$ ，可以定義mirror functor，從而給HMS一個compatible with SYZ的證明。

4. 和Oh-Ohta-Ono合作嚴格定義了obstructed case的Lagrangian Floer cohomology。他們的主要發明是引入了bounding cochain的概念，這對辛幾何和mirror symmetry頗為重要。然而他們的工作並未獲得廣泛承認。

5. 研究了compact toric manifold的homological mirror symmetry。Closed string情形由FOOO解決，open string的情形AFOOO claim已經解決。

6. 和Seidel，Smith合作證明了弱版本的nearby Lagrangian conjecture。

7. 和Oh合作證明了cotangent bundle上的Lagrangian Floer theory descend到base上的Morse theory。受此影響他提出在存在Lagrangian fibration時可以用counting Morse flow tree代替counting holomorphic polygon來構造Fukaya $A_infty$ category。在cotangent bundle情形，Abouzaid已經實現了他的想法。

8. 研究了Fukaya category的一般結構，證明它其實是cyclic $A_infty$ category。此工作極為重要，影響深遠。Abouzaid，Seidel，Smith多次用它來證明重要結果。

評價

Fukaya的originality比較高，提出了很多自己的想法，改變了數學的面貌，並非只是在解決問題。這一點中國數學家似乎做得沒有這麼好。

我覺得知乎在座各位沒有人比他更有資格評論了吧：

http://mathsoc.jp/publication/tushin/1501/fukaya-ono.pdf

以下這篇談的更多是深谷的數學品位等。

http://mathsoc.jp/publication/tushin/1704/fukaya-ono.pdf

（以下鏈接相關，但是離題八萬里，涉及轉筆和酒：http://mathsoc.jp/publication/tushin/1704/fukaya-ohta.pdf）

最重要的工作當然是FOOO。

可以說不知道高到哪裡去了。