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初等數論數學數論

對於怎樣的素數p，有0^3、1^3、……、（p-1）^3構成模p的完全剩餘系？

12-31

對素數 $p$ , 如果有 $mathbb{F}_{p}^{ imes}cong(mathbb{F}_{p}^{ imes})^3$ ,你的結論成立。

因為 $mathbb{F}_{p}^{ imes}$ 是 $p-1$ 階循環群，所以你就是要尋找素數 $p$ ，使得 $3 mid (p-1)$ 。

3,5,11,17之類的，都可以。

7，13，19, 之類的，你就崩了。

粗粗一看似乎任何摸3不為1的質數都行。

佔個坑

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考慮樓上哥們的原根方法

令 $g$ 是模 $p$ 下的一個原根，不考慮0（反正沒什麼區別）

則 $1^3,2^3......(p-1)^3$ 等價於 $g^{3 imes 0},g^{3 imes 1}......g^{3 imes (p-1)}$ ，

而 $g$ 的階 $ord(g)=p-1$ ，

所以如果 $g^{3 imes 0},g^{3 imes 1}......g^{3 imes (p-1)}$ 構成 $p$ 下的一個剩餘系，

則有 $3,6......3p-3$ 是 $p-1$ 下的一個完全剩餘系。

考慮 $3iequiv 3j(p-1)$ 。

如果 $gcd(3,p-1)=1$ 則上式等價為 $iequiv j (p-1)$ ，此時恰好可以構成一個完全剩餘系。

否則可以取 $a=g^i,b=g^j$ ， $a^3equiv b^3(p)$ ，與題設矛盾。

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再來一個勒讓德符號（Legendre symbol）的暴力版本

$i^3-j^3=(i-j)(i^2+ij+j^2)=0(p)$ ，顯然有 $0leq i,jleq p-1$ ，

所以上式成立當且僅當 $i^2+ij+j^2=0(p)$ ，運用求根公式可得 $i=frac{-jpm jsqrt{-3}}{2}$ ，

現在考慮勒讓德符號 $(frac{-3}{p})=(frac{-1}{p})(frac{3}{p})$

Legendre symbol(wiki)

省略苦力活若干……

可以從原根入手，先佔坑

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