flat complex vector bundle的所有chern類都是平凡的嗎？

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若 $E ightarrow M$ 是一個flat complex vector bundle，其中 $M$ 是一個光滑流形， $dim M=m$ . $abla$ 是一個flat connection, $abla$ 對應的connection 1-form記為 $omega$ , $abla$ 所對應的curvature 2-form記為 $Omega$ , 由flat vector bundle定義，有 $Omega=0$ ,又由chern類的定義： $det(I-frac{t}{2pi i}Omega)=1+c_{1}t+c_{2}t^{2}+...+c_{[m/2]}t^{[m/2]}$ ,所以所有的chern類 $c_{j}=0$ .這個argument正確嗎？

謝邀。

我認為正確。這就是Chern-Weil理論的出發點，通過曲率來構造示性類。但是示性類所在的上同調類跟聯絡的選取無關（因為不同的聯絡會使你計算的那個矩陣在上同調的層面上相差一個相似變換，而你求行列式等等的過程只與特徵值有關）。注意：flat不是復向量叢的內蘊性質，而是你附加了一個聯絡以後才能得到曲率，才有flatness；全純向量叢本身的定義並不需要聯絡。