贗自旋（pseudospin）究竟是什麼？該如何理解？

01-01

同樣是在寫課程論文時遇到過這個概念，但是是在一個不同的背景里（看到石墨烯的標籤，不知道下面答的是不是題主問的……）。

不過雖然不知道題主是不是感興趣這個背景下的贗自旋，還是強答一記。我以前碰到這個概念是在相對論氫原子（RHA）里，目的是為了描述 RHA 同樣具有 SO(4) 對稱性。

對於非相對論氫原子來說，可以寫出它的 Hamiltonian

$H=frac{p^2}{2m}-frac{a}{r}$

並引入兩個守恆量角動量 $L$ 和 Runge-Lenz 矢量 $R=frac{1}{2}(p imes L-L imes p)-mahat{r}$ ，就可以構造出非相對論氫原子所具有的 SO(4) 對稱性的生成元。

於是一個自然的問題就是：一個非相對論系統具有的對稱性，在相對論性系統里還能否被保持？對於氫原子系統，解決這個問題時引入了贗自旋算符。

首先寫出 RHA 的 Hamiltonian

$H=alphacdot p+meta-frac{a}{r}$

我們知道這時的總角動量 $J=L+S$ 是守恆量，同時我們還能證明兩個如下的量也是守恆量。一個叫 Dirac Operator

$K=eta(Sigmacdot L+1)$

一個叫 Johnson-Lippmann Operator

$D=gamma^5alphacdothat{r}-frac{i}{ma}Kgamma^5(alphacdot p-frac{a}{r})$

依此就構造出了贗自旋算符 $T=frac{1}{2}( au_1, au_2, au_3)$ ，其中 $au_1=frac{D}{sqrt{D^2}}, au_2=frac{iDK}{sqrt{DK}}, au_3=frac{K}{sqrt{K^2}}$

現在令 $I=J+T$ , $R=J-T$ ,則 $I$ 和 $R$ 構成 RHA 的 SO(4) 生成元。

中間有些計算確實比較麻煩，Dirac 算符和J-L算符的構造當時也搜到過有專文討論。但引入贗自旋，寫出與非相對論情形下相似的代數這一點目的是很明確的。在這裡也就是從 RHA 的李代數生成元來提供一點動機。

Reference

[1] Khachidze, T. T., Khelashvili, A. A. (2006). The hidden symmetry
of the Coulomb problem in relativistic quantum mechanics: From Pauli to
Dirac. American journal of physics, 74(7), 628-632.

[2] Chen, J. L., Deng, D. L., Hu, M. G. (2008). SO (4) symmetry in the relativistic hydrogen atom. Physical Review A, 77(3), 034102.

2016-03-08

我試著盡量不涉及複雜的公式計算來解釋這個問題。

眾所周知，電子結構隨著層數的變化而迅速演變，10 層石墨烯的厚度就可以達到三維石墨的限制要求。在很好的近似下，單層和雙層石墨烯都有簡單的電子能譜：它們都是具有一種電子和一種空穴的零帶隙的半導體 (亦即零交疊半金屬)。對於三及三以上數目的薄層，能譜將變得複雜：許多電荷載體出現，導帶和價帶也明顯地交疊。這一條件就將石墨烯區分成三類：單、雙、多 (3 到 10) 層石墨烯，更厚的結構可以被認為是薄層的石墨。

石墨烯的實驗發現為我們提供了通過測量其電子特性來探尋量子電動力學現象的方法。在分析石墨烯量子電動力學性質的時候，需要引入「手性」這個新的參量。石墨烯的「手性」表明了一個事實，就是具有 k 的電子和具有 k』 的空穴的狀態與石墨烯具有相同的碳亞晶格有複雜的聯繫。另外，E 為零附近 (能帶相交的地方) 的電子態是由不同的亞晶格狀態組成的，並且亞晶格之間的關係對準粒子構成的貢獻也要被考慮到。這就要求用一個指數來標記亞晶格 A 和 B，就像量子電動力學中的自旋量子數 (上和下) 一樣，這個指數被稱為「贗自旋」，而「贗自旋」相關的作用幾乎控制了與真正自旋相關的作用。手性和膺自旋的概念都非常重要，因為石墨烯的許多電子過程的理解都基於這些量的存在。

由於其獨特的狄拉克能譜特性，石墨烯提供了一個非常理想的平台用以研究零磁場下的拓撲電子態。石墨烯具有如下幾種自由度：

① 電子自旋 (自旋向上／向下)，如圖 1 (a)；

② 動量空間的谷 K／K』，如圖 1 (b)；

③ A／B 子品格贗自旋，如圖 1 (e)；

④ 雙層石墨烯上下層標記的贗自旋，如圖 1 (d)。

通過外部調控這些自由度，在狄拉克點可以打開體能隙來研究可能形成的各種拓撲非平庸電子態。舉例來講，通過將單層石墨烯按照 AB 疊放的形式置於六角晶格的氮化硼上，可在石墨烯的 AB 兩種子晶格上誘導出不等的在位能，從而破壞其空間反演對稱性，在狄拉克點 KK』處打開一個拓墣非平庸的體能隙，實現量子谷霍爾效應。類似的效應也可以通過在 AB 迭放的雙層石墨烯外加一個垂直的電場來實現。

事實上，於現代物理學，一些不同的現象被標記為「贗自旋」，而且全部都共享雙態量子系統 (two-state quantum
systems) 的簡單 Pauli 數學概念，此概念原來是為解釋自旋為 1╱2 粒子 (spin-1╱2 particles) 的普通自旋 (即內在角動量) 所發展的。大多數所研究的膺自旋電子型態，對應於雙層石墨烯系統電子所在位置的「離散自由度」，需注意的是，「頂╱底層」類似於「上╱下旋」。此種形式的贗自旋真正令人興奮之處，為其理論上預測一個適當的雙層石墨烯基態，可能是相當於激發的「同調迭加」(coherent superposition) 之超室溫「玻色愛因斯坦凝聚」(Bose-Einstein condensate)，包括一個電子在一層以及一個電洞在另一層。

那三層的自旋又是怎樣的表現呢？美國能源部 Brookhaven 國家實驗室的科學家研究以特殊方式堆棧三層石墨烯（蜂巢狀排列的碳原子薄層），發現了一種「小宇宙」，那滿布一種新的准粒子（quasiparticles）—如粒子般的電荷激發。與單層石墨烯中無質量的、光子般的准粒子不同，這些新准粒子有質量，那依其能量（或速度）而異，且靜止時會變成無限重（infinitely massive）。在低能量下累積質量，意味這種三層石墨烯系統，若因將之併入一種具有磁性材料的異質結構而磁化，將有可能產生比單層石墨烯還要更加稠密的「自旋極化電荷載體」（spin-polarized charge
carriers）。這個研究證明，這些非常不尋常的、經理論預測的准粒子，事實上存在於三層石墨烯中，而且它們主宰著諸如材料在磁場中如何表現這樣的特性。另外，將三層石墨烯與磁性材料結合，可調整（align）電荷載體准粒子的自旋。這種具有自旋極化電荷載體的石墨烯–磁鐵異質結構，將導致自旋電子學中真正的突破。

贗自旋之所以因為「贗」，不僅是因為本來並不是自旋等效地看成自旋，還因為在空間對稱性變化下，它的行為和自旋的行為是不一樣的。舉個例子，在空間反演對稱下，真自旋是不變的，但是在石墨烯的贗自旋中，a子格變到了b子格，相當於贗自旋反轉了。

先佔個坑，最近搬磚不忙了就回來答。

這是我量子力學課程論文里寫過的東西。其實Cohen那本量子力學的一個補充閱讀講的很詳細，我的課程論文基本上也是按照他的思路寫的；

簡單點說就是把雙能級體系看成自旋向上向下兩個體系，然後可以引入一個虛自旋的概念，沒記錯的話就是這麼引入的，不知道跟題主說的是不是一個東西？

ps最近事情比較多所以指不定什麼時候有時間，期待別的答主給一個靠譜回答