怎麼理解外代數是張量積的商空間？

01-01

我看的書上定義外代數比較奇葩。。所以沒有很好的弄懂。。向知乎的大牛們請教。
我的書上是這樣定義外代數
$awedge b=aotimes b-botimes a$ ，貌似不是正統的定義嗎？

另外補充2個展開點的問題：
（1）有沒有關於張量積和外代數的入門好書？
（2）商空間是不是可以直觀的理解成線性方程組的解集，或者說affine set？

感謝邀請

關於外代數，這裡有一個很好的notes：http://www.math.uwaterloo.ca/~kpurbhoo/spring2012-math245/tensor.pdf。

說一下商空間，首先請見：Quotient space (linear algebra)，粗略地說，向量空間 $V$ 模掉它的子空間 $N$ 的商空間 $V/N$ 可以看成將 $V$ 中的元素等同起來了，兩個向量 $v$ 和 $v$ 看成是一樣的，如果 $v-v$ ，我們注意到 $v-v$ 等價於 $v+N=v$ ，這裡 $v+N$ 表示集合 $v+N:={v+n: nin N}$ ，因此我們可以將商空間 $V/N$ 中的元素定義為 $v+N$ 這樣的集合，也就是

$V/N:={v+N:vin V}$

注意 $V/N$ 中的元素是集合，因此 $V/N$ 自己是集合的族，然後再 $V/N$ 上定義加法和數乘為

$(v+N)+(w+N):=v+w+N$

$c(v+N):=cv+N$

可以驗證以上定義是定義良好的，也就是如果 $v+N=v$ ， $w+N=w$ ，那麼 $v+w+N=v$ 以及 $cv+N=cv$ ，這樣 $V/N$ 是一個向量空間。

最近一直在看有關這方面的書，也不是數學系的，就說一點自己的粗淺理解。

首先要說明題主所述並非外代數的定義，而是外積的定義。

按照陳維恆老師的《微分流形初步》上的說法，設 $a$ 和 $b$ 分別是 $r$ 次和 $s$ 次外形式，即若 $ain wedge^rV^*$ ， $bin wedge^sV^*$ ，則 $a$ 與 $b$ 的外積為：

$a wedge b=frac{(r+s)!}{r!s!}A_{r+s}(aotimes b)$

其中， $A_{r+s}(aotimes b)$ 是 $r+s$ 階協變張量， $A$ 是反對稱化運算元. 上式的意義是明顯的，即外積是經過反對稱化運算的同階張量積. 這是必須的，因為一個 $n$ 次外形式不過就是一個反對稱 $n$ 階協變張量而已. 反對稱化運算元：

$A_n( au)=frac{1}{n!}sum_{sigma}sign(sigma)cdotsigma( au)$

其中 $au$ 是任意張量， $sigma$ 是 $n$ 個元素的置換， $sign()$ 是符號函數，求和號表示取遍所有置換. 這個式子看起來很嚇人，其實也很好理解，可以用對稱函數和反對稱函數的構造類比. 即大家熟知的任何一個函數 $f(x)$ 可以寫成一個偶函數（對稱）和一個奇函數（反對稱）之和：

$f(x)=frac{f(x)+f(-x)}{2}+frac{f(x)-f(-x)}{2}$

當 $a$ 和 $b$ 是1-形式時，即是題主所述的形式.

這個定義其實是外積的一個具體表達式，它告訴你外積如何由張量積構造出來. 但事實上，抽象地來講，外積不過是線性空間 $oplus_0^{infty}wedge^n V^*$ 上定義的一個乘法，該乘法與向量加法構成一個環. 於是，線性空間與其上的加法、數乘和外積構成一個結合代數，即外代數.

下面回答題主的兩個問題：

這方面的參考書的話個人感覺大多不是專門針對這些話題展開的. 這裡大部分的內容都在線性代數、微分幾何的書中有所涉及.
其實商空間很好理解. 先說商集，商集無非就是等價類構成的集合. 常常選取某些特殊的等價類，使得商集本身也成為一個代數結構. 如群論中以正規子群構造的商集也是一個群，即商群；環論中以雙邊理想構造的商集也成為一個環，即商環. 在線性代數中，由於線性空間 $V$ 關於加法構成一個阿貝爾群，從而任何子空間 $M$ 都是正規的，於是對於任意子空間都可以構造一個商空間 $V/M$ ，其元素記為 $alpha+M, forall alphain V$ 為此類的代表元素. 這個商空間並不是解集. 一個線性方程組 $mathbf{Ax}=mathbf{y}$ 可以視為一個線性映射 $mathbf{A}$ 將向量 $mathbf{x}$ 映射為向量 $mathbf{y}$ . 解方程組的問題就是已知 $mathbf{A}$ 和 $mathbf{y}$ 要求 $mathbf{x}$ . 在取定的基下， $A$ 是線性映射 $varphi:V^n ightarrow V^m$ 的矩陣. 事實上，此映射的核 $mathrm{ker}varphi$ 是一個子空間. 於是可以構造一個商空間 $V/mathrm{ker}varphi$ . 而由著名的第一同構定理，商空間 $V/mathrm{ker}varphi$ 與線性映射的像集 $mathrm{im}varphi$ 之間存在同構. 這個定理把映射的像同以映射的核劃分的商空間等同起來了. 從而商空間中同一個元素或者說同一個等價類中所有的向量 $mathbf{x}in V^n$ 都被映射成 $V^m$ 同一個向量 $mathbf{y}$ . 於是線性方程組解的問題就化為了求等價類的問題. 這個等價類中的代表元素就是原方程的一個特解，而子空間 $mathrm{ker}varphi$ 則是導出方程 $mathbf{A}mathbf{x}=mathbf{0}$ 的解空間，從而可以用這個空間中的一組基來表示，即基礎解系. 於是原方程組的解集就化為了熟知的特解加基礎解系的形式.