零維材料和三維材料的區別是什麼？

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一般來說，我們把點當做為零維，線為一維，面為二維，體為三維。但是當把視角進一步拉遠，三維的球是不是也就會變成零維的點，而反過來講零維的點在放大之後也會是三維的？
是不是說這裡零維的點，是真正絕對意義上的不可以再縮小剖析的點？那麼如果這樣的話所謂的零維材料也就不存在了吧？
2016年5月22日補充：

很抱歉我好想沒完全表達清楚。很多朋友從數學的角度進行了分析，其實我最初想問的是」零維材料「和」三維材料「的區別，根據@曹偉光的回答，這個應該是根據具體研究體系來定？

我們總是假設可以用分離變數法來解薛定諤方程，如果某種材料在一個方向上的尺度很小，在這個方向上，最低能級和第一激發態的能量相差很多，以至於在低溫下（相對於能隙）幾乎所有的電子都集中在基態，我們就可以在接下來的考慮中忽略掉這個維度。

舉個例子，電子滿足的薛定諤方程為

$[- abla^2+V(z)]varphi(m{r})=E varphi(m{r})$

其中 $V(z)$ 表示電子感受到的 $z$ 方向勢肼。我們通過分量變數法解方程， $z$ 方向波函數滿足

$left(-frac{partial^2}{partial z^2}+V(z) ight)Phi(z)=E_z Phi(z)$

可以解得這個方向上的波函數 $Phi_0(z),Phi_1(z)$ ...，對應本徵值能量為 $E_{z0}, E_{z1}$ ...，如果能量差遠大於溫度，則電子則會集中在基態能量，最終波函數可以寫成 $Psi(x,y)Phi_0(z)$ ， $z$ 方向的維度可以忽略。

而通常在某一方向上尺度越小，電子受到的限制越嚴重，其能量差越大，也就越容易滿足以上的條件。這種效應通常叫做quantum confinement，下圖

表現了quantum confinement的效果。

實際上物體總是有一定的尺寸，不過對於宏觀物體，其本徵能量的差遠遠小於溫度，也遠小於我們所能分辨的極限，所以可以看成是連續的三維物體。當某一方向的限制使其能量本徵值明顯不連續後，我們就認為這個「維度「沒有了，成為低維物體

最後在分別舉一下各個維度的例子。從零維開始

上面的圖表示的是nanocrystal，不同大小的球第一激發態能量不同，通過紫外光激發電子可以發光，也就是photoluminescence。一維比較著名的例子是碳納米管，由於兩個方向上的限制，除了 $z$ 方向能量都是分立的，其能帶結構如下

可以根據能帶畫出其DOS(density of state)圖

quantum well是比較典型的二維材料，和上面類似我就不多說了，改變其厚度可以改變電子的能級，一個很有名的應用是二維拓撲絕緣體[B. Andrei Bernevig et al., Quantum Spin Hall Effect and Topological Phase Transition in HgTe Quantum Wells, Science 314, 1757-1761(2006)]。

當quantum well的厚度大於一個特定值時，能帶發生反轉，實現了二維拓撲絕緣體。

「一般來說，我們定義點為零維，線為一維，面為二維，體為三維」。請告知出處，哪本書里什麼地方是這麼定義的。「定義」在數學裡面是個很嚴謹的詞語，不能亂用，請改成「我們覺得點為零維，線為一維，面為二維，體為三維」。

維數在數學裡面是個含義很廣的術語，在不同的地方有不同的含義。在點線面這個意象上，維數指的是線性空間（或者歐氏空間）的維數，也就是它是多少條直線的笛卡爾直積。零維和三維當然有很大區別，零維什麼東西都沒有，三維歐氏空間起碼有曲面，就可以研究豐富多採的曲面的幾何性質。別小看曲面的幾何學，這個有幾百年的歷史，直到現在裡面仍然有有趣的未解決的問題。

材料科學中，如果一個材料在一個方向上的尺度小於或在納米量級，我們就可以近似地認為它在這個方向上尺寸為零。以此為判斷標準才能夠說一維，二維，零維。

所以一般來說：

1.零維材料，一般是指納米材料。即我們使用的是大量的在各個方向尺寸上為納米量級的材料。

2.一維材料，是指線狀材料。比如晶須，在一個方向上原子長程規則排列到厘米量級，在另外兩個方向上只有很少原子排列，為納米量級；又比如碳纖維。

3.二維材料，是指帶狀材料(片層材料)。在空間兩個尺度上遠遠大於納米量級，一個尺度上仍為納米量級。如非晶帶材(液態金屬)，單片層狀石墨。

4.三維材料，就是日常生活中用的材料，如鐵錠。

區別三維和零維的關鍵在於我們是怎樣研究並使用它的。三維材料我們是在它的各個方向上考察它的力學或者物理化學性能。而零維材料我們是把它當做一個點，考察的是大量納米材料聚集在一起時的各項性能指標。(可以看做是一把粉末)

舉個形象的栗子：你研究一支粉筆的性能，就是三維材料

你研究一把粉筆灰的性能，就是零維材料。

題主所說的「放大後出現其他維度」感覺好像在一本科普弦論的書里見到過。。。好像是解釋為什麼弦論提出這麼多維數，而人們只能感覺到3+1維。

但是請題主不要混淆物理與數學中的概念。

數學中維度的定義是線性空間中極大線性無關組中向量的個數，這裡線性空間可以是一般的，也可以是坐標空間，實際上n維線性空間都是同構的，就是他們可以用線性映射聯繫，換句話說維數是同構不變的（即在線性映射下不變）。線性映射包括旋轉，展縮等，因此維數在題主所說的「放大」下也應該是不變的。

而在物理中，一切都是根據測量而言的，即「在誤差內正確」。在電動力學中我們常把電子看作點電荷，就是零維的；更一般的在經典力學裡，如果粒子體積很小，我們一般也採取當做質點處理，如果是連續體，就是對質點的積分。這一套理論與當時實驗精度吻合於是人們接受了，不論討論的粒子有沒有內部結構，只要在誤差範圍內，都是可以當做質點看待的。

題主想問的應該是物理問題，作為非材料專業的學生，說一點我自己的理解。

低維材料與體材料的主要區別是在某一維度上的尺度很小。

比如量子點，它肯定是有大小的，不是嚴謹的零維，不過在物理中可以算零維材料。

還有石墨烯，厚度很薄，單層的石墨烯厚度不到1納米，普通的也是幾個幾十個納米量級。也可以算二維材料。

他們與體材料在性質上的區別應該是由於尺度很小，使得統計效應減弱，量子效應更加明顯

零維材料——量子點、納米晶

一維材料——納米線

二維材料——薄膜

三維材料——普通體材料

這裡的維度並不是指數學意義上的維度。材料在某個方向上的尺寸遠大於另一個方向（在一個方向上表現出小尺寸的性質），就可以描述為維度的變化。比如說，二維材料，一般就是指各種薄膜。薄膜厚度一般在數十納米，甚至更小。數十納米是什麼概念？人的頭髮絲的直徑一般在十萬納米數量級上。所以不要把塑料布保鮮膜什麼的都當成材料學上的薄膜……那麼依此類推，以為材料就是納米線，直徑在數十納米到數百納米，長徑比一般至少是100:1。零維材料就是各種量子點。量子點說白了就是很小的納米顆粒。包含的原子或分子數量可以小到數百。由於小尺度下，材料的能級結構會發生變化，所以有一些特殊性質。而什麼叫體材料呢？就是我們傳統的大尺寸的材料。比如，一塊鑄鐵，他其中的晶粒大小都在微米數量級，所以不會有小尺寸下表現出的性質。

就像矢量圖，對點來說，視角拉近它還會是個點。由於沒有任何積量，即積量等於0，所以放大倍數對於點來說是沒有意義的。就像數字零乘以任何數都等於零。

而類比於一個分數，有積量（面積，體積等）的物體在被縮小的時候，就像分數的分母趨近於無窮大的時候，它也只能趨近於零。所以當你看一個物體，視角拉遠以後，它也只是看起來像一個點，而不是一個真正的點。而有關這個近似點的性質的選取，視研究對象而定。

舉個例子，研究原子核結構的時候，原子核再小，也不能把它當做點。而在研究引力的時候，大多數天體都被當做質點來研究。

關於真正的零維點是什麼，我覺得它更多的是概念里的含義。比如用三個坐標就能確定空間里的一個點。

理論部分，一張DOS態密度圖足夠解釋題主的疑問了。推導維度和帶結構或者維度和態密度的公式的也很多，我就不絮言了。

不過在材料的研究上，所有的維度特性都是近似的且有效的。它不需要嚴格，只要維度改變帶來了明顯的變化（e.g.量子限域效應），那麼我們往往就會稱其為「X維材料」。比如說，CdSe量子點，之所以稱為零維材料，是因為量子點的帶結構已經和體相材料出現了決定性的不同，導致量子點可以以通過激子發射等途徑來產生與體相不同的發光特性，這時候，一個在激子波爾半徑範圍內的材料，就可以稱之為零維量子點，反之，如果大於這個範圍，那麼這個尺寸的CdSe的發光特性就會接近於它的體相材料，也就不能稱之為零維材料了。

不需要嚴格的維度特性，賦予了材料更多的研究空間，因為如果一個材料嚴格一維二維，是沒有長程序的，我們也很難穩定的觀察到它們，更何談研究它們的特性了。所以二維材料漲落，一維材料peierls相變等等，但我們仍然可以稱其為「二維材料」，「一維材料」。

再補充一下，除了正常維度的討論，有時候還會牽扯到分數維的討論，比如說納米棒陣列，是二維還是一維？高分子鏈段的分形結構，算是一維還是二維呢？一堆零維的東西堆在一起，表現出來的特性也往往不再是零維的了，etc，這種問題往往可以用分數維材料來對它們進行限定，有很多多孔材料的研究也在往這個概念上靠，不過這個近似程度當然要比上面來的更抽象啦。題主有興趣的話可以看看這方面的review。

就納米材料來說，維度指有這個材料多少個方向不在納米級，比如納米粒子上下前後左右全是納米級，那就是0維材料，納米線就是一維材料，以此類推

我認為一味地用對比的方式看緯度是不對的一個緯度看低一維的東西應該會有處於這個緯度的獨有視角

維度的量可以認為是獨立基底的量。

零維你可以認為是點，但是如果是質點的話那就含有質量，那麼就有一個自由變數m。

三維你可以認為是立體空間，但是你也可以認為是平面加時間變數(SO(2+1))，同時也可以認為是SU(2+1)。

總的來說維度和物理意義並沒有直接聯繫。只是一種表述方法而已。

數學裡一般意義上的點是沒有體積的，所謂的沒有體積就是不論你放大縮小，遠看近看，躺著看，趴著看都沒有體積。

用我們數學老師的話說就是，題主你太想當然了。