為什麼嚴格的多體波函數不能計算出超導態，而簡單的 BCS 平均場能得到超導態？

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謝邀，因為基態是簡併的。

1，確實可以把多體波函數寫成擁有序參量的形式。我們應該用U(1)相位標記這組多體波函數，假設為 ${|psi_alpha angle}$ 。每個波函數都給出一個非零的序參量，且其對應的U(1)相位為 $alpha$ 。因為相位有無窮多種，這種波函數也就有無窮多種。

2，理論或數值上取到的波函數很難擁有非零序參量。因為基態是簡併的，一般來說算出來的具體多體波函數是上面那組波函數的線性組合，而這種線性組合之後的態，是很難有非零序參量的。對於超導來說，如果取的多體波函數 $|Psi angle$ 擁有準確粒子數N，那麼根據對易關係 $[hat{N},hat{alpha}]=i$ ，我們知道這個波函數肯定沒有準確的相位 $alpha$ ，直觀來說就是 $|Psi angle$ 里包含所有的 $|psi_alpha angle$ ，那麼你算 $|Psi angle$ 的序參量就一定是零了。

3，那怎麼刻畫序參量呢？要用關聯函數來刻畫，你會發現，無論是任何一個 $|psi_alpha angle$ ，或是 $|Psi angle$ ，其給出的超導序關聯函數都是非零的 $<Delta^dagger Delta><br /> eq 0$ 。

4，在實驗上，你去測量這個序參量，那麼物理的態就會「對稱性破缺」到一個具體的 $|psi_alpha angle$ 上，擁有一個具體的序參量。

嚴格的多體波函數中的超導態是通過pairing correlation function 看的，也就是

$C_{ij}=langle c_{iuparrow}^dagger c_{idownarrow}^dagger c_{jdownarrow}c_{juparrow} angle$

這個式子可以簡單地理解為在j處湮滅一個cooper pair，有多大機會會在i處探測到，這個correlation function是隨著距離遞減的，如果在無窮遠處還不是0，就是超導態

比如這篇文章里圖1就是畫的這個量

http://arxiv.org/pdf/cond-mat/9812187.pdf

平均場的處理中two-body correlation function總是可以factorize成one-body的乘積，這個時候要讓 $C_{ij}$ 不衰減到0，就只能允許pairing order parameter $Delta_i=langle c_{iuparrow}c_{idownarrow} angle eq0$ ，也就是BCS波函數了

其實鐵磁性的描述也是一樣的，在沒有外磁場和旋軌耦合時，真正的多體波函數里自旋對稱性並不會自發破缺，看的也是spin correlation function $C_{ij}=langle S_icdot S_j angle$ ，只有在平均場描述中才存在序參量 $langle S_i angle$