斯托克斯定律在任何流形上都成立嗎?

01-02

不是，流形需要滿足可定向，有邊，緊緻的條件。

可定向是為了定義積分用的體元。

有邊界是為了把內部的積分寫成邊界上的積分。

另外說明這裡的流形有一點微妙之處，因為流形是可以在某點選擇一個鄰域來看局域的像 $R^{n}$ ，但是如果是帶邊流形，邊界的點無法選擇這樣的一個鄰域。所以帶邊流形不是流形。

所以梁燦彬書在定義stokes定理的時候，用到了一個n維流形中的緊緻帶邊界的子集這樣的定義，為了說的圓滿一些。

不過暫時為了用，不用管太多這些東西。對於積分的形式（form）也有一定的要求，題主沒問，一般問題也不大，這裡不贅述了。

提法不好，斯托克斯公式有2部分，流形和微分形式，兩者都需要條件，否則積分可能無法定義。

先上公式

$int_{M}domega =int_{partial M}omega$

$M$ 是帶邊流形，n維。 $omega$ 是微分形式，n-1次。

$M$ 要求光滑，可定向，可以通過求邊界求少一維的邊界 $partial M$ 。

$omega$ 要求光滑，緊支撐在 $M$ 里，可以通過外導數升一次成為 $domega$ 。

條件在等式兩邊，一邊一個，然後剩下的部分通過別的運算得到。

公式和條件陳述完了，剩下的都是一些注釋。

1. 帶邊流形是流形的擴充。流形局部和 $R^n$ 同胚，帶邊流形局部和 $H^n={xin R^n:x^n geq 0}$ 同胚。 $H^n$ 有2種開集，一種和 $x^n=0$ 不相交，這種局部和 $R^n$ 同胚，另一種和 $x^n=0$ 相交，相交的部分對應到 $M$ 的邊界 $partial M$ 。

2. 流形緊緻和必須有邊的要求是不需要的。這兩個要求都能通過微分形式有緊支撐替換掉，而緊支撐是積分存在必須的，否則很多地方都可能變成無窮求和，這時候需要考慮級數的絕對收斂問題，這個很麻煩的。

微分形式緊支撐按定義，在支撐之外都是0，所以對整個流形積分的值只由緊支撐貢獻，相當於在緊緻流形上積分，所以流形的緊性是不需要的。

不帶邊也很好理解，沒有邊，右邊直接=0，並不會有什麼問題。

如果限制必須緊緻且帶邊，那麼簡單的開區間 $left( 0, 1 ight)$ 也沒法計算，要來有什麼用要來有什麼用。

3. 幾個算例體現微分形式緊支撐的效果

顯然按照定義 $int_{left[ 0,1 ight] } dx=int_{left( 0,1 ight) } dx=1$ ，但是根據stokes公式， $int_{left( 0,1 ight) }dx=int_{partial left( 0,1 ight) }x=0$ ，不帶邊，於是=0，產生了矛盾。原因在於 $x$ 在 $left( 0, 1 ight)$ 上的支撐並不緊緻，所以不能用stokes公式。

由此看出如果微分形式緊支撐，那麼在 $left( 0, 1 ight)$ 上的積分肯定是0。

這個看似是限制，但是反過來想，流形上積分能聯繫上拓撲性質，其實是個好事。