排序後的正態分布數列相鄰兩個數的差有什麼特點？也符合正態分布嗎？

01-02

有一個隨機數列，其中每一個元素相互獨立且符從相同的正態分布，然後先將其排序，計算相鄰兩個數的差，請問這些差值是否也符合正態分布，有什麼特點？

這個問題實際上是研究順序統計量的間隔分布（Distributions of Spacings of Order Statistics）.

設 $X_1,...,X_n$ 獨立隨機遍歷且服從高斯分布 $N(mu,sigma ^2)$ . $X_{(1)}leq X_{(2)}leq...X_{(n)}$ 是其順序統計量.令 $D_i:=X_{(i+1)}-X_{(i)}$ ,表示相鄰順序統計量的間隔，題主的問題就是求 $D_i$ 的分布。

顯然， $P(D_igeq 0)=1$ ,該分布不可能是高斯分布。

我查了一下，已經有人研究過該問題，並給出 $D_i$ 分布為：

$F_{D_i}(c)=P(D_i leq c)=1-int_{-infty }^{+infty } idbinom{n}{i}f(x)F^{i-1}(x)[1-F(x+c)]^{n-i}dx$

其中 $f$ 和 $F$ 是已知高斯分布的概率密度和概率分布函數。

證明的過程就看這篇論文吧

https://www.researchgate.net/publication/235616444_DISTRIBUTIONS_OF_SPACINGS_OF_ORDER_STATISTICS_AND_THEIR_RATIOS

不可能，排序後相鄰差一定不小於0或者一定不大於0，這不是一個正態分布應有的特點。

覺得這個問題有些意思。

不過題目的闡述有些問題，因為真的正態分布的數列是可以取到正負無限大的值。這種情況下排序沒有意義。

但是可以這麼理解：一個隨機變數服從 (mu,sigma)的正態分布，其產生n個隨機數後升序排序再相減產生新的一組正數，當n趨近於無窮時這組數趨近於什麼分布？

我也暫時不知道答案，用matlab試了一下，發現內置的隨機數生成機制並不夠好，鋸齒現象略嚴重，但湊合看吧。

常見分布的可能選項有：

1.伽馬分布

2.泊松分布

3.指數分布

個人覺得泊松分布的可能性比較大。希望有機會有人提供答案。（我相信這個問題應該有人研究過，畢竟和正態分布關係如此緊密）

（看完劉璐的答案不禁感嘆數學一旦更深入了美感度大不如前啊...）

sigma = 10000000; mu = 0; num = 100000000; bins = 256; a = normrnd(mu, sigma, 1, 10000); sorted_a = sort(a); hist(diff(sorted_a), bins)