數學哪些分支的發展受益於物理，物理能夠長期為數學提供動力嗎，相對純粹的數學領域是否不與物理相互作用？

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歡迎做PDE，幾何分析或者物理的來分享意見

PDE裡面數學家做的比較多的方程幾乎都是物理裡面來的：Navier-Stokes方程, Boltzmann方程, Ricci flow, 熱方程, 波方程……

Yang-Mills理論和數學裡的纖維叢是有聯繫, 膠子場可以被理解為聯絡, 場強可以理解為曲率張量。之後S. Donaldson用Yang-Mills instanton分類了某一類四維流形。

弦理論里的例子也很多：具體可以看丘成桐交大演講鏈接：【精品推薦】丘成桐在上海交大100周年校慶上的演講_14629

數學和物理其實沒必要有交集的, 但是數學可以從物理中獲得很多靈感。

微積分的發明。

現在為數學發展提供的動力，物理學科相比於生物學科，經濟學科以及計算機學科確實是差一些，但是這主要是由於物理學科發展的相對成熟，留下來的很多問題需要更有創造力的人和更高深的數學工具。

但是毋庸置疑，縱觀人類科學技術史，對數學發展貢獻最多的就是物理學科，很多大數學家同時又是大物理學家，這在現代儘管也有，但是相比於那個大師輩出的時代已經很少了。

至於數學的分支，除了機器學習，計量經濟學，生物數學，演算法設計，數據結構等這些純粹計算機，經濟學或者生物學的分支，其他剩下的分支多多少少都能和物理扯上點關係不是。

純數學在物理學科上的應用就更普遍了，推薦你可以翻翻CPAM這個雜誌，基本上所有純數學的應用都能找到。