到達什麼水平才能算是學會了數學？
很想學懂數學到底是怎麼運作的，原理是什麼，作為學生大多數時候並沒有真正學懂，能考試會算題就得過且過了。然而身邊有些人對數學就好像有天賦一樣，不論什麼問題（以數學題為例）一眼就能看得透徹。
我覺得這應該不是天賦問題，也不可能是智力問題，那麼真正能夠學懂數學的人和學不懂數學只會做做題的人差距在哪裡，是否可以通過某種手段彌補？另，我的幾何方面可能稍微好一點，其次概率和統計。微積分幾乎一竅不通只會算題。————————2016.1.11第一次補充本科非數學系，稍微補充一下。幾何方面知識停留在高中階段，做題時候基本可以在腦內形成構造之類的就可以做題。是學了多少年數學唯一不太吃力的數學部分。概率論，線代，微積分停留在會做題的階段（做題，總結，突破類型題，個人認為這是應付考試的功利性做法），對其後的數學原理基本沒有概念。尤其是線性代數，最近才知道其背後居然不僅僅是數字排列組合那麼簡單，有點擊破世界觀。（課上只講了怎麼算題並沒有提及這部分知識，可能是老師覺得非數學專業不需要知道）
個人認為會做題和學得懂應該不是一個概念，學得懂應該是從數學公式看出其本質是在說什麼，應該能從自己已知的部分推及一類問題。所以想請教各位以下幾個問題：怎麼才能在數學方面有所長進？數學思維如何形成？怎麼定義？怎麼才能把數學學得透徹？您是怎麼學數學的？問題已修改。也歡迎忽視我的條件和題設分享自己是怎麼學數學的。感謝各位。
語氣問題不重要，只要提出意見，所有答案不摺疊不反對全部感謝。
在知乎數學板塊貢獻過一些內容，包括兩次編輯推薦，還有個專欄。所以過來湊個熱鬧。
這問題問得比較寬泛，類似於 「到達什麼水平才能算是學會了圍棋」 「到達什麼水平才能算是學會了中國功夫」，水平高的人反倒不能厚著臉皮說自己學會了，因為要拿個東西打自己的臉是隨時能做到的事情。而且哪怕是很簡單的東西，真覺得自己學明白了，回頭換個角度看看也許又挖出點新的味道來，就好像圍棋的定式也是常新的一樣。
但我還是冒昧地給個答案吧。
能從很簡單的道理出發，解釋清楚一個相對深入的道理，就算基本上學明白了。這個相對深入的道理並不需要在別人看來多麼深刻，但是你很清醒曾經對於你來說是不平凡的，現在你理解了。（比如微積分里的微積分基本定理，線性代數里關於矩陣對角化的一些結論，懂了以後回頭看看都很平凡，但是從高中數學出發到那裡結束並不平凡）
這就好像功夫高手能很慢地做一個看似普通的動作，而普通的學生只能很快的完成——核心在於普通人因為沒掌握一些關鍵要素，做這種動作的時候容易失去身體平衡，只能靠速度快來找回平衡，而大師級別的人掌握得爐火純青，重心永遠都是穩穩的，做到一半也可能像雕塑一樣定在那裡。想想某些做題厲害但是沒學明白的人，是不是也像這裡提到的普通學生一樣，在某些關鍵性問題上囫圇吞棗？
原問題提到 「尤其是線性代數，最近才知道其背後居然不僅僅是數字排列組合那麼簡單，有點擊破世界觀」，我想，核心還是老師的水平問題。很多高校的教師質量都沒那麼理想。跟這種老師學習，就好像跟著不會說漢語的老師學習寫漢字，那和塗鴉有什麼區別呢。這種事情要是有好的老師點撥一下，其實並沒有那麼難。
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另外還有一種能力就是抽象和具體互相轉化的能力。舉個最簡單的例子，初等數論里有個結論，如果是素數，
不能被
整除，那麼
除以
的餘數是1. 這個結論很多人都知道，但有不少人甚至不能直接把這個結論跟 999999 能被 7 整除聯繫起來（因為
除以 7 的餘數是1）。我想這也是一種能力吧。
我不信知乎里有人敢說自己學好了數學，尤其數學專業
謝邀。我很難理解沒有學好微積分的人怎麼可能學好概率和統計。莫非題主學的概率論全是古典概型和離散分布，而沒有一丁點連續型分布？
沒有學懂很大程度上是因為學得太淺，只學到一個東西的零散片段（比如題主所認識的「概率論」和真實的概率論可能完全不是一碼事），而要更深入學習更多的東西，有時候就不可避免地要接觸更抽象的概念和工具。不同人數學能力數學思維的差距，很大程度體現為數學知識量的差距和知識結構的完善程度之差距。這個問題太好了，我最近自學數學，感覺學起來很過癮，但是苦於沒有人探討，特來分享。
我15年初開始自學數學，學了有一年了。我覺得如果想把數學學懂的話，一定要從最基礎開始，一步一步的學，並且選好教材。而且往往需要用數學系的教材才行。
先說一下背景。我本科畢業於上海一所普通大學，食品專業，畢業後工作兩年完全跟專業不相關，覺得沒前途，想轉行學計算機。現在在讀計算機研究生研二。
去年開始學習之前，只有本科上過的高數（同濟）和線性代數（學校自編）的基礎，但是全都忘光了。現在讀研經常看到有線性代數的知識，而回想一下本科學的線性代數最多就會算一下特徵值，應用一下克萊姆法則解方程，而且連特徵值是什麼都說不清楚，所以萌生了補習數學基礎的想法。因為之前本科的時候也好高騖遠，借過一些非常高大上的數學書來讀，發現什麼都看不懂，比如印象深刻的是有一本書上來就介紹巴拿赫空間，但當時我連線性空間都沒啥印象，怎麼可能看懂。所以這次學習，我決心要從最基礎的開始看起，不能急功近利。
我先從線性代數開始學的，最初的動機就是我們Information Retrieval課程經常會用到矩陣乘法，還有特徵值，我想最起碼也要理解什麼是特徵值才行。選了一陣子教材，後來不知道從哪兒看到說Linear Algebra Done Right這本書講的很好，講法很新穎，並且全書最後才講行列式。我個人比較喜歡嘗新，而且當時並不具備任何數學方面的成熟度（估計現在也不成熟，不過比當時好多了），覺得這種講法可能會教給我一些對數學的直觀洞察，就選用了這本書。
這本書一開始三章給我的感覺就是完全抽象。各種定義，各種性質。而最開始的我很明顯缺少相應的數學素養，還是沿用高中的數學學習方法（對，我認為本科學的高數和線性代數根本沒有教會我怎麼去學習真正的數學），嘗試用已知的經驗去套用這些定義，就想當然的以為自己懂了。我也會去想每一個定義的動機，並且每一頁都要讀1小時以上（就像這本書前言說的），但是後來發現我對每一個定義和性質的理解還是太具體。我舉個例子：
這本書開始介紹了向量和向量空間的概念，直到第六章才引入了內積，長度（範數），正交等概念。但是在這裡我就犯了先入為主的錯誤。我在讀前五章時，就想當然的以為向量就對應著一段有長度有方向的線段，從而我腦海里的向量的概念其實只是真正的向量概念的特例。當然這種直觀的方法很多時候都沒有問題，畢竟特例也是向量，所以向量空間的所有性質看起來都很相容。但是如果一直在腦海中留著這兩個概念並帶到這些定理（性質）的理解中去，就會導致不能夠理解這些定理的本質，也就是學不明白，而且會覺得這些知識很繁瑣。比如對我來說曾經最大的一個困擾是，我很難去理解為什麼書裡面表示一個映射用的是T(x, y) = (x+3y, 2x+5y, 7x+9y)，然後他又能能夠很自然的找到表示這個映射的矩陣？對於當時的我來說，(x, y)是一個向量，(x+3y, 2x+5y, 7x+9y)是另一個向量，怎麼找矩陣嘛！再一個例子就是，我會花一些時間去理解（甚至根本不能理解）為什麼多項式，還有三角函數也能夠看成向量，因為根本就無法具象化啊！比如，如果我想在腦海中把一個多項式當作歐式空間中的向量來看的話，sinx的長度是多少？夾角是多少？
再加上沒有人討論，點撥，所以我後來花了很長時間去摒棄我先入為主的很多觀念。當我真正發現原來我自身帶有的這種先入為主的對向量的刻板印象是錯誤的時候，那感覺就像頓悟一樣，突然前面的這些定理都通了。那個時刻我非常的興奮，感覺三觀被重塑一樣。然而實際上，我摒棄了那些沒用的刻板觀念之後，我發現線性空間其實是非常簡單的空間，而前面那幾章其實都是在講一些簡單的道理（這個感覺我在學卓里奇的數學分析前幾章的時候也發生了）。我需要學習的東西一下又變少了，那確實是一種通了的感覺。當時真的有一種三觀被重塑的感覺，而且，看待事物的方式也被潛移默化的影響了，開始喜歡數學這種下定義，嚴謹證明的方式了。
那我是怎麼摒棄那些先入為主的概念呢？其實明白過來以後也很簡單，但關鍵就看能不能轉過這個彎了。有人說集合是數學的基本語言，我轉過這個彎靠的就是集合加上去理解定義，尤其是向量空間的定義。一開始的時候我看向量空間的定義時很快就自以為理解跳過了，後來學不明白回來看的時候，才注意到向量空間其實是一個集合！一個包含元素的集合！並且這個集合上的元素滿足交換律，結合律等等的性質。關鍵點就在於這是個集合！集合里的元素並沒有長度，並沒有大小。並且只要能夠滿足後面給的這6條運算性質，集合里的什麼元素我都可以叫他向量。所以多項式也可以是向量，sinx也可以是向量，甚至生活中的一些東西都可以叫一個向量了。
這本書的前言里說如果讀書的時候任何一頁閱讀以及理解的時間少於1小時，說明讀快了。事實上，這本書我每天讀，讀了20多天，也才看完前三章。確實每一頁都讀了1小時左右（或許更多）。因為這本書一上來簡直太抽象了，而且我本科學習數學的時候根本就是沿用了高中那一套，儘管我每一個定義都儘力去理解並且儘力去記憶，還是很難轉過那道從高中數學到大學數學的彎。後來學完第三章以後，感覺三觀都被重塑了。
後來開學了，沒時間繼續看了。放暑假後，我又繼續看這本線性代數，從第六章看到結束，大概又花了一個多月。儘管很花時間，但理解各個定理，以及證明都沒有太大問題。但是呢，當時的我還是太naive，以為就是學好了線性代數呢。直到後來開學，選了data mining的課。老師本身很水，講的也不難，但是我還是想好好學嘛。本科由於沒學過概率論（該死我我們學校老師都不知道怎麼安排的課程，食品專業也應該教概率論呀！），所以我又自學了概率論（陳希儒寫的），並且把所有分布以及各種大數定理，中信極限定理，都證明了一遍（這是另一個故事，後面再講）。但是我發現儘管我有了一些線性代數的理解，也知道了幾種「transformation」/「operator」的分解，卻還是不能很好的理解課上講的各種矩陣運算，還有嘗試理解SVD也花了很長時間，而且感覺並沒有理解透徹。我現在找到了原因，因為Linear Algebra Done Right太強調抽象了，作為理論固然很好，但是在應用的時候，就發現跟矩陣脫節了。比如這本書里定義的Normal Operator，我根本對應不上是一個什麼樣子的矩陣。我也不知道原來能夠上三角化（前提是標準正交基）指的就是能夠找到可逆的酉矩陣，一左乘，一逆右乘把他化為上三角矩陣。我發現我在理解一個抽象概念，並把抽象概念轉化成可以實際應用的矩陣表示之間存在這一個鴻溝。所以我在上個月考完試之後又開始學習線性代數了，這一次想要彌補這個坎。
這次又學線性代數我仍然是結合著這本linear algebra done right教材，並在網上找了一個視頻（是我在嘗試理解某個概念時搜到的）結合著學習。視頻是台灣交通大學的莊重老師講的線性代數。說實話，我是一聽到他講的課就愛上了。講的實在是清晰，並且我覺得，如果我最開始就跟著他學習線性代數的話，應該就不會走這麼多彎路了。我其實也是從他的下學期的內積空間的幾堂課開始聽的，主要就是針對一些我之前沒有弄懂的抽象與具體對應的一些問題挑著看。他的可很好的一點就是，比如講舒爾定理時，他先寫了一個抽象的定義，緊接著他又給出了對應定義的矩陣表示形式，從而幫助理解。而且他也有一些介紹某個定理該怎麼用的課。我看完了他的課之後，又覺得線性代數有了很大的提高。目前我線性代數就學到這裡，儘管可能還是不入流，但是自覺的比之前的我強了太多太多。
我還想分享我自學數學分析的經歷。我在去年暑假看完線性代數的時候，就開始學習數學分析了。數學分析挑教材的時候，又是上網搜，包括知乎（知乎真是太好了）。當然又挺非主流，我被卓里奇的數學分析吸引了。因為介紹說是清華什麼很牛的班用的數學分析教材，並且觀點非常之高。所以我就淘寶淘了上下兩冊（暑假在國內學的）。數學分析上來以後不像線性代數，他更詳細的介紹了集合論。我覺得這也是重塑三觀的一個過程。印象最深刻的有幾個。一個是用公理化集合論代替樸素的集合論去繞過羅素悖論。一個是連續性的那幾個公理，比如實數連續性公理，區間套公理，有限覆蓋公理。我花了好多天去理解，當時的狀態就是，把這幾個中的某一條讀的滾瓜爛熟，就是不知道為什麼要這麼拐彎子的定義公理去定義實數，所以每天該幹嘛幹嘛，但是一有閑下來的時間就漫無目的的遊走或者靜坐思考這幾個公理，或者睡前繼續想直到腦海中都模糊了。想了幾天才拐過這個彎，理解到原來還是集合的問題。這幾個公理其實要表達的也很簡單，就是告訴我們實數是連續的，能夠存在像根號2這樣的無理數。這幾個公理看起來可能挺複雜，但我理解可能已經是用集合的語言，來表達連續性（也就是無理數存在）的最簡單的定義方式了。
理解了以上這些集合論，以及連續的概念之後，我們才可以在這基礎上定義極限。因為由連續可以證明極限的存在性。極限也是一步一步導出的。由之前的工具其實只能證明一個序列的極限。有了序列的極限之後，又討論了級數的極限，因為級數的每一項和都可以看作某個序列中的一項。再之後才定義了函數在某點的極限。每一個後面的定義都需要用到前面的定義以及結論。定義了函數在某點的極限之後，才能定義函數在區間的連續性（區間內處處連續）。
剛剛讀完前面4章的時候，我的心情也是非常激動的，我感覺智力上得到了挑戰，並且我成功的理解了他們，非常有成就感。我也感嘆於數學理論的精巧以及嚴密。對數字本身也有了更有趣的洞察；並且對這種定義，公理，定理的體系也更適應了。實數連續性那幾個公理確實也很塑造三觀。我覺得如果沒有轉換過一個觀念，仍然輕易去接受看起來符合直覺的數學定理，而不追問自己這個定理是怎麼來的，確實容易有「這麼顯而易見的事情也要證明」的困惑。而且，如果沒有脈絡，不知道數學其實是一個一步一步逐漸搭起來的過程，去被迫接受很多書上的定理並拿來使用的話，很容易被眾多的定理搞的頭昏腦漲。
從第五章開始到第八章，講的是微分，積分，然後再把微分和積分拓展到高維上去。我學的時候感覺可能是偏應用吧，並且同濟的高數教材這些內容講的比較多，並沒有遇到太多的困難。感覺很有趣的是複數部分。以前在學習數學的時候學到複數，完全不知道這個數的動機是什麼。儘管我絞盡腦汁，而且嘗試各種尋找複數的直觀理解，並且還真找到了各種直觀的理解，卻總不能在情感上接受。而且，更難以接受的是，為什麼偏偏定義這種二元數，不繼續定義三元數四元數呢（或者定義了卻沒有廣泛應用）？但是學了數學分析里關於複數的部分，再加上自己的一些思考，儘管我仍然不能解釋後面三元數四元數的問題，卻大體有了一些思路，了解了一些動機，並且在以後自己遇到相似的問題的時候，如果有需要，我也敢自己創造屬於我自己的什麼元數出來。這其中的關鍵就在於「如果有需要」這幾個字。我理解定義複數實際上是對已有的實數的一種延拓（可能我在濫用術語了）。類比我們之前的幾次延拓應該能夠找到一些感覺，也就是什麼時候我們應該去延拓一些東西的感覺。之前我們在學習的過程中已經做過幾次延拓了。我們在定義數的時候，其實我們是先從自然數開始定義的。自然數我們先從1開始定義，並且定義加法。然後1可以不斷加1，我們給每一個數起個名字，就構造出了自然數。有了自然數和加法，自然就想到了有沒有加法的逆運算，也就是減法？如果減法存在的話，那麼1-2等於多少呢？這裡是我認為對數的第一次延拓，這次延拓的結果就是增加了0和負數。然後有了加法，我們自然也想到了乘法，也就是x個y的運算。然後聰明的我們又開始想乘法的逆運算，也就是除法。整數又不夠用了，於是構造出了有理數，這是對整數的延拓。有了乘法，我們又構造出了乘方，然後乘方有逆運算嗎？我們定義了它的逆運算開方，結果有理數又不夠用了，我們延拓出了無理數，也就是實數了。但是其實實數還是不夠用的，因為負數現在沒有開方。我們為了讓運算封閉，並且都有意義，乾脆構造出了虛數（又一次延拓），以及複數。並且，我們定義完複數之後，給它制定了運算規則，發現他很守規矩，可以很好的幫助我們計算，而且我們甚至能夠找到對它的直觀解釋，即複平面。因此我們也接受了複數。因此我感覺延拓就好像你在做數學的時候，發現現有的數學工具不能滿足自己的需求，而定義的一種新的工具。這種新的工具可能能夠幫助簡化計算，或者能夠將某個具體問題泛化成更抽象的更通用的的概念，從而幫助研究這個具體的問題。甚至有的延拓本身就足夠有趣從而值得去研究。
還有一些困難是當這本書進行到高維的時候，實在是非常抽象，所以理解起來很費事，也不容易具象化。但是我感覺我前面對於實數的連續性的理解，對於我理解高維（並且是復空間）背景下的連續，極限的概念幫助很大，因為可以很好的類比到實數的連續性上，所以學起來也沒有那麼的燒腦。
卓里奇的數學分析我看了3個多月，在去年暑假結束的時候看完第一冊。目前打算用閑暇時間去讀這本書的第二冊，而且也聽說了這本書其實他的精華在於第二冊，觀點很高。可惜現在還沒看，看完了再過來更新感想。
另外我還想分享我學習概率論的經歷。概率論我本科居然沒有學過，我也不知道我們專業為什麼這麼安排，導致我基本上只有高中概率論的基礎，再加上之前我之前學食品某課程淺顯的接觸到了一點兒顯著性檢驗的知識（其實只會查表，但至少不陌生）。學概率論其實是有一個契機，因為按計劃我是打算看完數學分析第二冊再繼續學概率論的，因為比較簡單嘛。但是由於上學期選課選了data mining，所以課上需要用到很多概率的知識。我不希望這門課就這麼混過去，所以每次作業都拖到最後一天去寫，而這之前則是惡補概率論的基礎知識。好在最後我終於補上了。概率論我大概花了1個月左右補習的。
首先還是選擇書。我經過諮詢後選擇了陳希儒版的概率論與數理統計。為什麼沒有用英文版教材是因為學業壓力，沒有時間去慢慢讀英文版的。當我讀了陳希儒老師的概率論後，我發現沒有選錯書。這本書簡直太好了！統計的部分我沒有讀完，但是第一到四章以及第六章部分我都看了。作者都不是突兀的只介紹知識點，而是從實際問題入手，引出問題，我們為什麼要研究這些問題，並且作者給出了很多背後的動機以及他的思考，非常幫助讀者自己印證自己的想法。而對於概率論中的每一個公理定理，老先生也是極其認真，難得的都給出了證明！這些證明也各有其動機，以及如何去直觀的理解，應用這些定理。讀這本書的時候感覺簡直是酣暢淋漓。雖然是偏應用的教材，但是這本書卻同時很數學，所有的定理仍然是一步一步的導出的，沒有什麼突兀出現的概念，定理導致難以理解的。另外由於作者是中國人，讀起母語來如沐春風，非常帶感。
這本書前兩章挺好理解，但是我覺得僅僅去記憶那幾個概率分布又有些捨本逐末了。書中對很多概率分布都給了證明，我對所有的分布都試著推導了一下，獲益匪淺。比如正態分布，二維正態分布，還有伽馬分布（伽馬分布很有趣，我感覺應該可以看作階乘的延拓，不知道是否正確）等等。
為什麼要推導，自己證明這些分布呢？因為我腦海中有些疑問，就是為什麼我們需要這些奇怪的分布，這些分布都是怎麼來的？其實還有一個實際的原因，就是我在上data mining的課程的時候，講解回歸分析時經常會用各種顯著性檢驗，有的時候滿足t分布，有的時候卻又滿足正態分布，有的時候又得用卡方檢驗。我之前完全不能夠理解。
後來我理解了這些分布的意義了，其中的關鍵就是，要知道這些分布都是在什麼條件下出現的分布。這個條件很重要，有了這些條件之後，這些分布就是由這些條件再加上一些概率論中的公設推導出來的了。舉個例子，卡方分布，其條件是隨機變數X1,X2,X3...Xn相互獨立，並且滿足標準正太分布時，他們的平方和滿足自由度為n的卡方分布。注意這裡是他們的平方和滿足卡方分布，這是他能應用於獨立性檢驗（皮爾森卡方鑒定）的關鍵。再比如F分布，要滿足的條件是X1,X2獨立，各自滿足自由度為m和n的卡方分布，則(X2/m)/(X1/n)滿足Fmn分布，所以可以用F檢驗。這其中的關鍵在於當條件滿足後這些變數就滿足某個分布，想要理解這個檢驗就一定需要能夠從條件推出這個分布出來。
還有一個自由度的概念。自由度很不直觀，也很難理解。書中102頁的證明能夠幫助理解自由度，但是應該有嚴格的證明，目前我還沒接觸到。我個人目前的理解是，儘管你一共有m個變數，但是這些變數之間是相關，由其中的n個變數就能推出其他m-n個變數。從向量空間的角度來看，就是儘管有m個向量，但是由於線性相關，只能張成n維的空間，即任意個一個向量都只有n個方向的自由度。
概率論這本書第三章我覺得最關鍵就是中信極限定理。之前只是證明了正態分布是一個分布函數，但是並沒有給出為什麼獨立同分布的隨機變數的均值服從正態分布。中心極限定理就描述了這樣一個性質。我覺得理解這個定理的證明非常重要，要不然概率論感覺起來也像是空中樓閣一樣。但是遺憾的是這本書里沒有給出中心極限定理的證明。我現在也在嘗試找到這個證明並去理解，不過還沒有找到我能夠理解的證明。。。
以上是我這一年多學習數學的經歷，大部分是我學習過程中的心理狀態以及感想，可能過於主觀，可能寫的並不正確，還請知乎各位大神幫忙指正。
2016年10月補充在最後————————————————數學系大三，跟題主相反，計算好差，從來卡死在微積分和求極限。但大概能理解題主說的學懂了是什麼意思。
——————清明記，說好要修的，但是…自戀的覺得以上回答是有其內在邏輯的，新添東西進去有違和感，就還是維持原樣，再看了遍題目後新添的東西如下，肯定有重複的，呃，大家就當做重要的事情說三遍吧，似乎拉低了數學欄的平均水平，頂鍋蓋逃走…..
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想要理解數學的運作那確實是很難的，最主要就是，太多了啊-----凡是足夠龐大的東西運作都不會簡單，會有各種各樣的例外和不同。數學無疑是一個還在不斷發展中的龐然大物。
從非數學的角度分享下我是怎麼想的。
舉個與高數無關的例子，看到有人問數是什麼。
嗯，我們知道，有理數產生自整數，然後產生實數，再然後推廣到複數，還可以接著繼續推廣，只要定義是良好的。（以上主要是抽象代數的內容，學了近代基本OK）
所以比較根本的問題是整數是什麼。整數作為數學的基石之一，這個問題肯定有人研究過，應該是在代數學中，但是想來比較高深，具體表現為我都大三了還沒學到O__O 「…
有理由相信那個定義在邏輯上完美，但對普通人估計不太好理解。
這也是眾多數學概念不好理解的原因，後面會再闡述。
這裡推薦另一種解釋，直接粘貼我另一個回答：
非常神奇的數學結論有哪些？？
【作為一個一天到晚學數學的本科生……
其實啊，我覺得，數學的整個體系都是非常神奇的。它全是概念啊，而概念本身就是一個高深莫測的哲學概念，上學期看了《寫給青年數學家的信》，裡面有一個讓我很驚艷的想法，手邊沒書不能引用，暫時回憶，回校後再校正數學是一種群體的社會共識。比如我們的數學中最基本的概念之一整數，這和我們生活的環境有關，而如果是其他沒有大氣層，到處是電磁風暴的星球產生了智慧物種的話，對他們來說最基本的概念就不會是整數，會是波相關的一些概念了。我剛好有看到教育神經學，人類嬰兒就有分辨數目的能力已經得到實驗證實，甚至已經確定了是大腦中的哪一塊，也就是說，整數的概念已經是在進化過程中產生的，某種先天的能力了。這成為我們之後學習數學的基礎。這就和進化和人類存在本身一樣是非常神奇的事情呢！】忘記哪個老師說的了，上帝創造了整數，其他一切都是人為。我們先有了整數，然後拓廣拓廣拓廣，某一天聰明的人發現，這種拓廣也是有規律的，那就繼續抽象咯，
然後，然後就是我們學了兩個學期的「近世代數」，當然近代里不只是講了數是怎麼推廣的，或者說它其實沒講，但數的擴張確實是近代最重要的例子。而在這個擴張的過程也被抽象以後，數的定義隨著改變了。
感覺我又跑題了，嗯，我想要強調的是，如果對基本概念不理解，那太正常了，它們不知道已經經過了多少遍的抽象，以配合新的數學界的發展。它們是定義良好的，但同時也就不好理解了。
但邏輯是數學的靈魂，所以正規的教科書里他們一定是把完備的定義拿來給你看，寧願你初時看不懂讓你需要在之後一次次的加深理解，也不可以有漏洞，如果有簡化會特別提出。
所以定義和概念在數學裡特別重要。甚至可以說，數學就是-----公理，定義和邏輯。
學高等數學你會看到很多的定義和一些公理，某些特別複雜，某些長得很像，幾乎都很抽象。哎，所以那些各種揪著小細節不放的課後習題，真的是來幫助你理解的，語重心長臉。
數學運作某種程度上來說是這樣的：
1.人們在生產生活實踐中看到事物的共性，比如圓，樹樁樁都是圓的，
2.而後經歷了某個過程才抽象出了數學裡的圓，光滑完美的，現實里不可能存在的，被定義出來的，嗯，概念。
3.而基於定義良好的概念，系統又可以藉助邏輯繼續往前發展。
典型代表微積分，完備的微積分理論——建立在實數理論的基礎上——後於微積分的應用出現，牛頓和萊布尼茲之爭你們都知道的，個人感覺數學系學生都逃不掉的數學分析主要就是在講微積分何以可能。而在理論完善之後，分析學就這樣蓬勃的發展起來了。講真，它算是基於實踐產生，但現在已經甩開實際自己撒丫子跑遠了，聽說到的我們很多教授的研究課題和成果，完全沒有感覺那還在現實中，抽象已經發展到了某個地步了。
另一個例子比如運算，1+1=2,2+1=3，那我們可以推廣到無窮的自然數，最後連加法都被抽象了，我本想寫出來，才發現我學的加法概念是基於群的乘法的……（一個集合和集合上的一個運算，運算也有自己的定義，滿足封閉性，結合律，存在單位元，任何元素存在逆元，這個集合稱為群，運算稱為群上的乘法。口頭語口頭語，百度就可以看到它的數學解釋，比文字描述要嚴格許多。加上交換律，群上的運算就與一般意義上的加法相同，可以簡稱為加法。——————————————看到最後的耐心的同學們啊，如果你是工科生，學過高數的那種，某種速成的辦法是看數學史，沒有標題數學史的書，找科學史的也可以，（沒錯，科學技術史專業從來就在數學系名下），可以迅速建立起感性認識，面熟那些重要概念。同時數學史也很有趣啦。原答案已刪除，感謝題主，抱歉題主。
首先：
1. 微積分和數分有一些區別，微積分只要會算，數分還要知道為什麼。2. 高中幾何基本不能稱之為幾何，那個只能叫「平面歐式幾何下的某個二次方程所確定的曲線的初等性質」，而且極其初等，所以我們從一開始就沒有說到一塊去。3. 我不太清楚題主想要「繼續學習」到什麼樣的程度，而且是為了什麼。是出於興趣呢，還是有專業上的需要呢？之後，從題主的問題描述來看，題主不管是出於什麼目的，不管是想要再學多深，都應該回歸到基礎上來。
高等數學的基礎是數學分析（也就是數分）和高等代數（線性代數的進階+初步的群論）。由於題主的目的不同，方向不同，想要學到的深度不同，這二者可以選擇性的不看一些東西。舉例來說，如果想研究微分幾何方向，那麼數分的微積分理論和多元微積分理論部分是必然要看的，而代數的群論部分可以先略過（當然我這話有點不負責任，因為按照克萊因的觀點，所有的幾何都是變換群，但這已經是很深的事兒了，大概是數學系研究生在學的東西），矩陣部分的理論要精通。另舉一例，如果想研究概率論、統計分析，那麼數分必須全本過，並且過到能給別人講出來的程度，代數方面就有一些可以暫時放棄。但如果題主的想法是想要學的越深越好，那麼就首先要通篇的過了這兩門基礎課程。因此所要花費的時間會更多，更加耗費精力。這些東西如果沒有興趣支撐的話，還是很可能會覺得枯燥的，這裡給題主打一針預防針。以上是基於題主目前的水平以及基於我瞎猜的題主的需求和目標所得到的結論。如問題有補充，煩請告知，我會進一步跟進。非數學專業，但是大學三年屬於預科通識教育，都在學數學和物理。
什麼叫學懂數學，我覺得沒人敢這麼說。會做題絕對不是，會做題不知道這玩意兒究竟在幹啥根本沒用。（我確實見過數學系的不明白行列式，跡的定義以及為啥特徵多項式是det(xId-u)）
那搞懂了定義、在幹啥以後，你會發現媽蛋怎麼數學一科一科都融合到一塊去了？
我們數學課都是法國人授課，法國的數學體系到後來幾乎就是大雜燴了，在代數里有數分(函數的向量空間，多項式展開等)，在數分里有拓撲（範數，求解微分方程等），在代數里還得有數論，在數分里又得有代數，一鍋亂燉下來。有一次代數的習題，好像是先用了多項式互質，再用中值定理等等，最後確定了那個矩陣經過什麼變化後沒有複數根。我們向老師抱怨，這都不是代數啊，那老師來了一句「ce sont des maths！（這是數學）」
所以，感覺沒有什麼學懂數學，因為哪怕沒有新的進展和發現，你也永遠不知道現在學的這些東西還會和哪些亂七八糟的東西又融合到一起。這就是數學！
附上本人手殘上課無聊時整理了一下我們三年數學的各科關係。。傷眼預警
到達什麼水平才能算是學會了數學？
這可是一個深奧的問題啊！但凡學數學的人沒幾個敢說自己學會了數學吧？
現代數學分支這麼多，能通曉一個分支就很牛了呀！學會了還算是人嗎？只有上帝才會吧？一般像我們普通人我覺得能達到以下要求就可以了：
1.思考定義定理的來源，對於書上的一個定理，能夠基本說出證明思路，一些重要的細節要掌握，不要一個證明擺在你面前，你一點想法也沒有！即便你證明不出來，但至少也要有點想法，或在提示的前提下能寫出證明。2.看書要看透！如何定義看透呢？我的標準是看了一遍又一遍後，直到看不出了新的東西！因為我們每看一遍都會有一次不同感悟，直到你感悟不出了新東西就比較透了！
3.選一本經典書鑽研就是了，書不在多，鑽透一本就足已！對於書中的習題，一定要力所能及地做一些！尤其是書中作者省略的證明，你務必要靠自己寫完整！作者在書中所說的「這個證明留給讀者」之類的，務必要自己去證明一遍，沒有比這個更好的習題了！
4.對於自己學過的東西，自己要能把握個大概！學過一門課程，要知道這門課是講什麼的，是怎樣研究的。這門課和其他的課有聯繫嗎？
比如線性代數里的子空間的直和，你要會把它和代數里的自由群的概念，代數拓撲里的拓撲和的概念（還有其他類似的）聯繫起來，它們的定義都有相同點。找出相似點很重要！因為現代數學雖然分支眾多，但其實還是能聯繫在一起的。因為大部分都是推廣，而開創性的遠沒有推廣的多，這就造成一定會有不少相似點。5.繼續保持對數學的熱情，如果你感到痛苦，就不要再看了！數學應該是令人快樂的！嘿嘿，來的早我也來強答一下。我覺得題主是想進一步學習數學但好像沒有方向，但這個具體方向別人沒法幫你定，要結合你自己的專業，個人理想，將來的職業等等而定，要知道，自希爾伯特以後，數學界再未出現過全才，現代數學知識規模極其龐大，不是可以全部通曉的。下面零碎的說幾點想法一是要結合應用來學習，看這個數學有什麼用，搞清楚來龍去脈，從而確定學習方向。比如，微積分是如何出現的，那個時代隨著生產力發展人們遇到了越來越多的變數問題，不搞微積分發展不下去了，發現萬有引力和行星橢圓軌道都不知道二者如何聯繫的。再比如，你幾何學得好，可是現在大尺度的幾何應用能不靠計算機么，那是不是要解析化，之後算個切線什麼的還是要用到微積分么。還有在星球表面，得用曲面幾何吧。在宇宙航行，得計算空間曲率吧。另一個例子，解方程，通過實驗得知，某流體中球形所受的阻力與其速度平方成正比，微分方程，不會微積分解不了吧。總之，這方面可以結合數學史，時代背景，物理與數學的聯繫，數學建模等去理解。看你要做什麼，就學什麼。二是既要注重計算推導時的形式技巧，也要經常思考本質上的聯繫。吹個牛，本人曾在高中學平面解析幾何時推導出了一般二次曲線的判斷方式（橢圓，拋物線，雙曲線），並總結了類似計算機演算法一樣的解題程序，因為我當時就覺得這個以後肯定要用計算機程序算得，結果忽視了一些做題技巧，高考時的平面解析題自己把自己坑了，方法絕對沒錯，各種解方程，計算量大的自己都哭了，最後算出個三位數質數分母，明顯算錯了，最後就沒考好，最後就只能上害菌學校，最後就只能養雞…扯遠了，這樣的例子很多，一般三次四次方程求解，各種形式的函數求導算積分，做題只是鍛煉了其中一部分，要注意總結積累。另一方面，多思考本質，再吹個牛，我高中時就注意到定義更高級運算（多個相同數字做乘方），把一系列操作視為運算元，並把運算元和其操作的數學元素放進同一個集合考察（我當時還不知道群論），有可能發現比課本上更多的推論。我相信，對於公理化體系，極限定義，康托爾集合論，群論等等數學上的發展，就是長期縝密思考的結果，是數學中質的變化。還得說一下，我認為無論技巧的積累和長期深刻的思考，都可能簡化過程，解決問題，但不存在一招鮮吃遍天的情況，也就是說不存在我今天深刻認識到數學內涵或者深層意義了，明天我就數學各個方面都理解了。這必然是一個不斷量變推動質變，循環上升的過程。說了這麼多，好吧我承認這是個吹牛加緬懷的答案，手機碼字，語言組織的有點亂，畢竟脫離數學多年了，拿不出什麼乾貨。歡迎大神指點，大家輕噴。
小技巧和習題集都是垃圾 老師說千萬不要做習題集 懂了書的人不需要習題集
很猶豫的想了很久 看來我是做了習題集也不會懂數學 下學期學實變復變 我要超越99%的人了學會數學根本不重要，這是典型的學生思維
清楚的知道自己當下不能做什麼，然後把能做的都做出來，並爭取把不能做的變成能做的。
數學系學渣強行來答。 嗯，你學會實變函數和泛函分析就可以幹掉這個世界上99.9%的人了。（剛剛考完） ——————————分割線，下邊是正兒八經的回答———————————— 數學要不要天賦？如果只是數學入門的話，不要。想要去做基礎重複的數學工作的話，沒有天賦問題不大。想要做到領域內top10的話，沒有天賦不行。 天賦影響什麼？時間，時間，沒錯就是時間。一個數學入門，大約本科四年＋碩士三年。這是一般來說有天賦的人沒有天賦的人基本時間×2（沒有天賦估計是做不了博士？不知道啊）。對時間的影響有多大？本學期實變函數，我做筆記比書還厚，考試估計六十左右。這就叫做沒有天賦。老師開課前就說了，你們中間只要有一兩個人能學懂你們這一屆就很有希望了╭(╯ε╰)╮。彌補╭(╯ε╰)╮嗯，基本你把你用來泡妹子，玩lol，打籃球的時間來學數學，基本可以彌補天賦帶來的差距了，只限本科，其他階段不了解。————————再分割———————————估計題主只是來問問，本質是想提高數學水平，並不打算從事數學方面工作。提高數學，難不難？難。有多難，很難。（廢話╭(╯ε╰)╮）途徑:1，網易公開課。隨便找。老外的，你要能看的懂英語。這個是最快的方法。2，自學＋蹭課。從數學史開始自學，分別是以下順序。數學史，數學專業英語，高等代數，解析幾何，數學分析，近世代數導論，集合論，群論，常微分，複變函數，實變函數，泛函分析，拓撲學……差不多了，這些沒有兩三年你是學不完了。沒有老師帶著也很難。3，等我想起來再補充╭(╯ε╰)╮。——————再分——————一般來說，只有通過專業的訓練，才能具有所謂的數學邏輯。並不是看兩本書，做兩本題就可以的，更多的是老師在課堂上的言傳身教。ps我們基本只做證明題。我的數學邏輯的養成是靠師傅傳授和灌頂的。還有，挺佩服自學數學的人。
除了上面說的從頭好好學外，還有一條可能比較和題主情況的「捷徑」，建議找一些從很高角度俯瞰的書，比如俄羅斯的《數學：他的內容意義和方法》，還有一個叫《數學橋》的也不錯。當你對數學的整體（當然不是整體－－）有一定把握以後，你學東西可能會快一點。
btw，還有一種就是先找到你學的東西的應用層面，再回過來學理論，答主就是先學的上面幾位說的」真正的「概率論再開始看測度，先學了隨機分析再學的泛函。其實我覺得數學學習靠天分，沒有天分，其實也就打打醬油。
有了天分還得花大把大把的時間去學習，思考，計算。人家一眼出來的都是人家思考過的問題。————————————————————————————————————————有人說我沒有幫助，那我就做一點修改其實懂和不懂還是看你的高度的。舉個例子。我小時候學過加法，都知道如何做加法運算。一直到了高中畢業，我認為自己知道什麼是加法。當我第一天開始本科學習的時候，老師問我什麼是加法。我發現我並不知道什麼是加法。我知道的僅僅是數字的加法運算而已。當我學了抽象代數的時候，我才知道什麼是加法，什麼是阿貝爾群，對加法有了更深入的理解。我想雖然我現在知道了加法群，但是可能多年以後，別人再問我一個更加困難的問題，我依舊會懷疑我是否真正知道什麼是加法群。懂和不懂完全看你的高度。有人看見樹葉掉落，只是看到樹葉掉落，有人卻看到了秋天。高度不同而已。喜歡數學，寫寫我對數學與工程的認識，水平有限，僅供娛樂。
幼兒園是我從一無所知的「襁褓」到認識0~9這個數字的「孩提」的過渡，慢慢的開始形成自己的意識；
小學畢業的我，經過了瘋狂游泳池管理員，傲嬌小明的洗禮，進入「韶年」，人說三歲看小七歲看老，我這一輩子數學能學到什麼水平大概也就定下來了；初中的我學到了變數，函數，認識了三角形的五心，這大約就是」黃口「小兒時代，總感覺自己是數學界的天才，實則Naive；高中的時候，又get了圓錐曲線，數列等等高大上的東西，始知天外有天，曰」舞勺之年「；大一的微積分與線性代數的學習，數學開始脫離只能用於買菜這個level，但還是缺了點什麼，大約就是」舞象之年「吧；接下來的概率論以及複變函數，則是數學之路的成年禮，能把數學應用於實際工程，有一種長大了的喜悅，稱之為」弱冠「；研究生的第一年，又迎來了Matrix Analysis， Stochastic Process的挑戰，覺察到成年與成就功名之間的距離有點大，不知道三十」而立「這個水平自己什麼時候能達到；」不惑「，」知天命「這些層次不敢奢望，能安慰自己的或許是我還年輕。附：初生叫嬰兒，不滿周歲稱襁褓；
2至3歲稱孩提；
7歲稱韶；
10歲以下稱黃口；
13歲至15歲稱舞勺之年；
15歲至20歲稱舞象之年；
20歲稱弱冠；
30歲稱而立之年；
40歲稱不惑之年；
50歲稱知命之年。
在自己的認知體系中，所學的數學知識可被推導，(哪怕是直覺上認為 對)這就是學懂了吧 舉個栗子遇到新知識，就會想: Soga~和我想的一樣or 胡扯，怎麼可能這樣? 我的數學大廈啊~而不是 哦 ，就完了
怎麼才能在數學方面有所長進？
理解概念，數學的每個學科都是由最基本的公理作為根基，在其基礎上演繹退出定理，解決問題。每個概念的產生有著歷史脈絡和背景，了解概念比做題重要。數學思維如何形成？怎麼定義？
數學思維的形成路徑
一是在不同體系裡面，建立關聯。從幾何視角考慮代數，從代數角度考慮幾何；二是把現實問題抽象成為數學問題。數學思維的定義，把現實問題轉化為形和數的問題。怎麼才能把數學學得透徹？
能夠進行數學抽象，把現實問題轉化為數學問題。
您是怎麼學數學的？
我對數學的學習基本靠自學，能夠遇上好的老師很重要，現在網上有許多公開課。好的老師很多，建議大家多聽經典課程。
呆在圖書館默默看書，什麼時候能和大神交流了就差不多了……
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※數學或物理方面有什麼沒有得到應有重視的佳作？