物理學中的微元法是一種錯誤的方法嗎？

01-03

我感覺物理學中的微元法是一種錯誤的方法，這就好比芝諾的「飛矢不動」說啊！
一個物體做曲線運動，根據微元法，每一個最小單元都可以看做直線運動，那麼積少成多，這個物體又是在做直線運動！
如此說來，微元法並不能說服人吧！

微元法確實數學上不嚴謹，主要在於沒有對『無窮小量』進行很好的定義。同時，微元法並不很好地區分一階小量和二階小量，這也是高中用微元法做題很容易出現問題的地方，也是題主問題的來源。

針對題主有關直線運動的質疑，每一個小段的直線運動與下一段直線運動的方向是不一樣的，所以疊加起來不會還是直線。

題主學有餘力的話去看看微積分吧，另外我記得費曼物理學講義裡面也有一些比較清楚的解釋（似乎是光的干涉或者衍射相關部分），當時對我幫助很大。

高中不開/高考不考微積分然後把大量時間用來搞題海是錯誤的教學政策。

把微積分稀釋到高中，大一大二在學生心理不適應期同時開微積分和線性代數導致大量掛課退學的問題就解決了。

謝邀。

微元法作為一種方法基本上是沒有問題的，要嚴格理解就需要學習微積分這個大家也都有提到。

我只是想說，題主你提的飛矢不動和微元法的精神恰好相反吧。

飛矢不動是只承認物體瞬時的「位置信息」而不考慮其「速度信息」，這被牛頓第二定律證偽了，牛頓第二定律告訴我們物體運動方程是二階微分方程，初始條件里不僅要有位置也要有速度；而微元法恰恰是考慮了瞬時狀態中的「速度」信息，你不理解是因為你還陷在飛矢不動的悖論里沒出來呢。

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值乎入口：

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能微積分誰特么還用微元法

你平時走路逛街算距離，還會考慮地球曲率嗎？

貝克萊就用所謂「消逝的靈魂」來嗆牛頓的啊

牛頓本人也說不清楚無窮小量，直到後來柯西世代的數學家才有ε-Δ語言。

不過對於搞力學的人這點小事不算啥啦

牛頓也說了，反正管用別來跟勞資找茬

每一段都看做直線運動沒錯，但每一段的速度方向不同啊，所以加起來不是直線運動。（高二學生的理解）

微元法是微積分的基礎，之所以我們可以把一條曲線的局部看做是一條直線，本質原因是這條曲線是光滑的（根據數學理論其實只要滿足描述曲線的函數屬於H∧p就可以了，詳見實變函數或者索伯列夫空間），如果曲線本身很粗糙比如狄利克雷函數怎麼辦，我們有勒貝格測度啊，如果比狄利克雷函數還不光滑咋辦呢，好了這時候我們就需要測度論了。具體自己看實變函數和測度論吧，一句話兩句話說不清楚。

多讀點書，少做些無謂的思考，不需要什麼高深的東西，就高中物理的內容就可以說明為什麼你想的是錯的。

沒錯，按微元法確實曲線運動可以視作無數的極小段直線運動。然而這些直線運動的速度方向並不相同。

所以不存在你說的這種邏輯問題??

先來解釋一下芝諾悖論

芝諾問他的學生：「一支射出的箭是動的還是不動的？」
「那還用說，當然是動的。」

「確實是這樣，在每個人的眼裡它都是動的。可是，這支箭在每一個瞬間里都有它的位置嗎？」
「有的，老師。」
「在這一瞬間里，它佔據的空間和它的體積一樣嗎？」
「有確定的位置，又佔據著和自身體積一樣大小的空間。」
「那麼，在這一瞬間里，這支箭是動的，還是不動的？」
「不動的，老師」
「這一瞬間是不動的，那麼其他瞬間呢？」
「也是不動的，老師」
「所以，射出去的箭是不動的？」

如果引入德布羅意波，在瞬間里，它的體積仍是不確定的，那麼這個悖論是很容易理解的。

正常去理解的話呢，不妨記飛矢為 $x=at^{2}+bt+c$ ,則每一個 $t$ ,有對應的 $x$ ，也就是每一個瞬間里都有它的位置。但是每一個 $t$ ， $x$ 的一階與二階導數( $x$ "與 $x$ "")，也就是速度與加速度也是對應存在的，所以你不能說一個有速度和加速度的飛矢是靜止的吧。

選擇一個參照物，一個物體如果和參照物的運動狀態一致，那麼就是靜止，否則就是運動。靜止的含義：一個始終在原點（或原位置）運動的物體，我們把它叫做靜止。

再來解釋一下微元法

題中描述的直線運動，樓上給了很好的解釋，即直線運動是矢量，需要考慮方向，不同方向的直線運動疊加起來是可以達到曲線運動的近似。可以參考一下割圓術。

我覺得困惑的地方在於微元之後的疊加是否還是原來我們所要求的整體，即無窮小量的和跟原來的有沒有偏差。我還是沒有想到很好的解釋，但是高中數學老師用了夾逼準則說明了一下。

例如上圖中，在 $p_{0}$ 與 $p_{1}$ 間，可以用 $M_{0 }$ 來近似 $y$ 值，這樣我們會覺得最後的求和(記作 $S_{1}$ )會使值偏小。這樣，不妨我們再取 $M_{1}$ 作近似，這樣的話結果(記作 $S_{2}$ )又會偏大。但是，其實算出來結果是一樣的，也就是說，本以為 $S_{1}$ &<真實值 $S$ &< $S_{2}$ ，其實 $S_{1} =S_{2}$ ，那麼結果並沒有多算或者少算什麼。夾逼準則告訴我們這樣取微元併疊加求和的結果沒有偏差，大概就是我的理解了。

微元法的思考過程是近似的，但是其推導結果是準確的。有這樣的思考是很厲害的，但其實這些數學基礎問題早已解決。實數的定義，無窮小的定義，連續性，可導性等等都是已經解決了的

竊以為微元法最大的漏洞就是在於，沒有「論證分割方法對結果沒有影響」之前就已經開始做，而Riemann和則不然。比如大部分高中物理參考書上的勻質薄球殼對內部質點引力為零的證明，如果不選取兩塊成比例的區域，定理是否還成立，這實在是不小的問題。

另外，微元法的本質是使用函數的微分來計算，是函數改變數的線性主部，而高階無窮小是可以被忽略的（趨於0），因此題主的問題就是太過在意高階無窮小。（此外「積少成多，這個物體又是在做直線運動「太離譜，至少也是折線運動吧）

本質上都是微積分，所謂微元法只是微積分的一種不完全形式，學會了微積分，物理就好做多了，高中物理講的時候完全沒有微積分，導致許多物理量不能使人信服

微積分有個更嚴謹的講法叫：泰勒級數。

微元法是為了讓初學者更好的理解一些求面積這些實際問題的。如果計入誤差，微元法沒有問題，相當於零階導數。在工程領域屬於精度較差的方法

百度第二次數學危機

微元法確實是一種不正確的方法。

沒有程序正義就沒有正義。換言之，這和「有根據地猜」沒有任何區別，只是統計學上的相關性強了一些。

在我的經驗中，大約0.5%的題目會出現類似於「飛矢不動」的現象，包括無窮小量的「階」的問題。

我的微積分是和高中物理老師學的。

我花了幾分鐘理解了什麼叫微分，不到兩小時理解了什麼叫積分，又花了兩小時隨便翻了翻高數，對微積分就有了一定的理解，也就是入門了。

而那時我數學110分左右，物理66分左右。

綜上，「高中生很難理解微積分」這一論斷純屬胡編亂造。

沒有了微積分你是想像文科生那樣「背題」嗎？

乾貨：

微積分可以繞開一部分對物理過程的感知，在無法做實驗的情況下，對微積分的高度熟練可以讓你在能力上無限趨近於那些每周都有實驗課上的高端學生。

此外，學會了微積分可以讓你看起來像個學霸，而且有可能發展出學霸們的思維方式。

此外，我到現在都不會微元法。

我以為只有我會這麼想這個問題。

因為對數學的熱愛，高一的時候我已經自學完成了整個高中的數學，於是，進入高等數學的學習，一上來就是無窮跟極限，對於學習了近十年數學的人來說，這太他媽的不嚴謹了，就像舉個栗子就完成了一道複雜的證明，一邊在感嘆其神奇之處，一邊在想它的漏洞在哪裡，看起來就像那個蜘蛛實驗一樣，對著它吼一聲，蜘蛛跑，切掉蜘蛛腿，再吼，它不跑了，於是，證明蜘蛛的聽覺在腿上。

人們都說，這不對，這是不完全歸納法，你把腿都切掉了蜘蛛怎麼跑？

然後，我們又會問，你又怎麼證明蜘蛛沒有腿不能跑？

於是，微積分跟導數，一直在困擾我，不是我不理解它們，是我覺得它們的存在不嚴謹，有如光的波粒二象性一樣的爭議性存在

牛頓的經典力學因為愛因斯坦的相對論出現，被證明它只是低速下的近似

歐式幾何因為兩點間直線最短的不嚴謹公理而推導出非歐幾何

微元法未必是錯，只是不夠嚴謹

感覺在方程式精確的情況下，微元法真的太贊了！！！

然而他們的方向不一樣啊。。。

簡單來說，就像你能看到的地面只是很小一部分(微元)，它看起來是平的。那麼你能說地球是直的么？？

當然不行，因為即便你眼前的地面弧度可以小到不記，但是它仍然存在方向，而每一段方向是不同的。所以你當然不能把他們簡單加和。

當然，敢於質疑是好事，不過自己要是能多思考解決問題的話就更好了。

每一個微元都是直線運動，但是是方向不同的直線運動。。所以微元相當於拿折線運動而不是直線運動去無限趨近於曲線運動