微積分里一致連續、一致收斂里的「一致」是什麼意思？

01-03

『一致』在英文中是『uniformly』，通常是指刻畫某個性質的量具有全局性，不依賴具體的點。比如一致連續性：

如果對任意的 $epsilon>0$ ，存在 $delta>0$ ，使得對任意的 $|x-y|<delta$ ，都有 $|f(x)-f(y)|<epsilon$ ，則 $f$ 一致連續。

這裡刻畫連續性的量 $delta$ 並不依賴於具體考察的點 $x$ 和 $y$ 。

又比如函數序列 $f_n$ 的一致收斂

如果對任意的 $epsilon>0$ ，存在 $N>0$ ，使得對任意的 $n>N$ ，都有 $|f_n(x)-f(x)|<epsilon$ ，則 $f_n$ 一致收斂到 $f$ 。

這裡的 $N$ 並不依賴於具體的點 $x$ 。

再舉個例子，微分方程中的一致穩定：

如果對任意的 $epsilon>0$ ，存在 $delta>0$ ，當初始條件 $|x(t_0)-x^*|<delta$ 時，對任意 $t>t_0$ 都有 $|x(t)-x^*|<epsilon$ ，則 $x^*$ 是一致穩定的。

這裡的 $delta$ 也不依賴於具體的時間 $t_0$ 。

在point-wise的視角中,是把一個函數看作一個由 『點』 構成的『點集』,點集滿足極限/收斂/連續就是點集中的每一點都滿足極限/收斂/連續

在uniform的視角中,函數是一個向量(vector),它不是一個點集, 函數自身是函數空間中的一個點, 因此一致極限是說 || fn -f || -&> 0 , 既fn到f的距離趨向於0，而函數空間中的距離是一個泛函(functional),在不同的情形下定義各有不同.（比如Lp空間中的norm就由p的取值決定）

一致就是說，不把函數當成點集，而是『一致』地考慮整一個函數，把它看做一個無限維的向量

裴禮文的習題集里提供了一個直觀的解釋：

uniformly，直譯就是「均勻地」，不會有的點跑得太快有的點跑得太慢

我們知道，連續映射是拓撲空間之間的態射，用拓撲的術語來刻畫連續性是自然的，然而一致連續的定義是需要依賴度量的，而一致連續映射卻並不是度量空間之間的態射，這暗示在拓撲空間和度量空間之間存在一種新的結構，而一致連續映射正是他們之間的態射。

設X是任意集合， $Xcirc X$ 是笛卡爾積， $Re$ 是 $Xcirc X$ 的非空子集族，如果 $Re$ 滿足：

1.對每一 $Uin Re$ ，對角線 $left{ left( x,x ight) :xin X ight} subseteq U$ ；

2.若 $Uin Re$ ，則 $U$ 的逆 $left{left( y,x ight): left( x,y ight)in U ight} in Re$ ；

3.若 $Uin Re$ ，則存在 $Vin Re$ 使得 $Vcirc Vsubseteq U$ ；（關係的複合）

4.若 $U,Vin Re$ ，則 $Ucap Vin Re$ ；

5.若 $Uin Re$ 且 $Usubseteq Vsubseteq Xcirc X$ ，則 $Vin Re$ 。

則稱 $Re$ 是X上的一致結構， $left( X,Re ight)$ 稱為一致空間（uniform space）。

一致空間可以看做介於拓撲空間和度量空間之間的一種中間結構，它力圖用純粹集合論的語言來刻畫兩個點之間的「距離」，而不是藉助度量。定義的1，2，3分別可以對應（偽）度量空間上的度量的定義（自反性 $d(x,x)=0$ 、對稱性 $d(x,y)=d(y,x)$ 和三角不等式），定義的4和5則說明一致結構 $Re$ 是一個濾子，這類似於拓撲空間的鄰域系統。

一致結構可以誘導出拓撲，稱為一致拓撲。設 $(X,Re )$ 是一個一致空間，由一致結構 $Re$ 誘導出的一致拓撲的開集是X的這樣的子集U，對U中每個點x，存在一個 $Re$ 中的元素A，使得 $Aleft[ x ight] subseteq U$ ，其中 $Aleft[ x ight] =left{ y:(x,y)in U ight}$ 。一致拓撲很類似於度量拓撲，事實上，對每個 $Ain Re$ ， $Aleft[ x ight]$ 都是x的鄰域。而對於任意一個偽度量空間 $(X,d)$ （不同的兩個點之間的距離可以等於0），可以誘導一個偽度量一致結構 $Re$ ， $Re$ 中的元素A是 $X imes X$ 的這樣的子集：對某個 $delta succ 0$ ，有 $left{ (x ,y):d(x,y)prec delta ight} subseteq A$ 。

一致收斂就是按照一致拓撲的收斂。首先回憶下拓撲空間中的收斂性，我們可以用網或者濾子基來刻畫：

設 $(D,leq )$ 是一個偏序集，如果對任意 $a,bin D$ ，都存在一個 $cin D$ ，使得 $cgeq a$ 且 $cgeq b$ ，則稱D是一個定向集（directed set）。一個拓撲空間X中的網是定向集D到X的一個映射 $f:D ightarrow X$ 。設x是X中的一個點，如果對x的每一個領域U，都存在一個 $ain D$ 使得對任意 $bgeq a$ 都有 $f(b)in U$ ，就稱網f收斂於點x。或者叫做f最終在x的每一個領域內。

一致連續則定義為：

兩個一致空間 $left( X,Re ight)$ 和 $left( Y,Im ight)$ 之間的映射 $f$ 稱為一致連續的，如果對每個 $Vin Im$ ，都有 $left{ left( x,y ight) in Xcirc X:left( f (x),f(y) ight) in V ight} in Re$ 。這與在度量空間中定義的一致連續是類似的。

定義給的已經夠多了，為加強一下幾何直觀，來張圖

函數列的值全部落在收斂函數周圍，無一例外就是一致收斂

$forall x in I,Supleft| fn(x)-f(x) ight| <varepsilon$ 函數列的值收斂，但是總是有的函數列跑到離收斂函數很遠的地方，就不是一致收斂 $exists xin I,left| fn(x)-f(x) ight| >varepsilon$

一般的連續性： δ與ε和x有關

一致連續性： δ只與ε有關（一個ε可以統領區間上所有的地方的連續性）

比如說y=1/x，只要適當地取x1=1/n和x2=1/（n+1），n→+無窮大，δ→0，但y(x1)-y（x2）恆等於1，並沒有趨向於無窮小

非常直觀的理解，就是收斂速度和一個變數x不相干

換句話說，收斂速度可以被一個和x無關的量控制住

這樣就可以在不等式裡面對x取極限了

「一致」的意思就是於其中一個變數無關，比如一致收斂，只要n夠大，任意x都行。比如一致連續，只要delta_x夠小，x是啥都行。

取的ε對任何x適用，而不是對每一x有相同或不同的ε

有這麼一片土地，上面的人只要關係足夠親密，那他們擁有的財富就相差不大。

一致說明了收斂的速度或者說趨於極限的速度不能無限的小下去

Uniform continuity

wiki上是動圖，一目了然。

有個問題：一致連續是不是意味著一階導數有界？就是說，連續而且足夠平坦？

這樣的問題確實算是非常高質量的問題

我就發表一下拙見

一致代表著有一個最小值在約束的意思

比如一致收斂，一定有個收斂最慢的

一致連續epsilon確定了，過後derta有個最小的