為什麼克萊因瓶在三維空間中是不可能的？

01-04

為什麼克萊因瓶在三維空間中是不可能的，看圖片感覺能在現實中製作出來。

這裡有個初等的證明：

http://mathoverflow.net/questions/18987/why-cant-the-klein-bottle-embed-in-mathbbr3

我翻譯一下：

因為不需要光滑性，可以假定S是由點線面構成的多面體表面。選擇一個和所有的面不平行的方向v。S外任意一點p，以p為起點v為方向的射線L(t)=p+tv，和S的交點個數，如果是奇數，就把p塗成白色，否則塗成黑色。如果L和S剛好交在一條棱上，則因為一條棱總是兩個面的交點，所以p附近的點，它的顏色不會跳變，就取它附近的點的顏色即可。

這樣子把S外任意一點染成了黑白兩色。注意到兩點之間如果有一條（不穿過S的）路徑連接，則顏色一定相同（可以選擇路徑使得射線避開多面體的頂點，而射線掃過棱的時候，顏色不變）。

然後在穿過S的一條射線上，靠近S的地方取兩個點p和q，這兩個點顏色一定不同。

然後S上有莫比烏斯帶，可以將一個短的法向量滑動到同一點的相反的方向，這個法向量的終點畫出一條不穿過S的路徑，開始於p，終結於q。所以p、q顏色必須相同。矛盾。

謝邀。任何不可定向曲面都不能嵌入三維歐式空間。克萊因瓶可以看成兩個RP^2（射影平面）的連通和。如果克萊因瓶可以嵌入3維歐式空間，那麼RP^2也可以嵌入3維歐式空間（把另一個RP^2壓成一個點就行）。但是RP^2不能嵌入R^3。這可以用代數拓撲證明。具體怎麼證明，一方面我不記得了，另一方面我也沒法讓題主理解，所以還是不說了。

這是一個「應該為真」的命題，但證明卻並不trivial.

至於題主「看圖片感覺能在現實中製作出來」，這是一種誤解。你無論怎麼在三維空間中擺布克萊因瓶，都沒辦法讓它自己與自己不相交。而嵌入恰恰要求「無自交」。

關鍵在於不可定向，如果你在三維空間中轉一圈，發現左手變右手了，那一定是見鬼了。

Klein瓶可通過將一個矩形的邊緣按編號粘起來而得到。

所以，在允許相交的情況下是可以在三維空間構造出來的，但不相交就不行了，不信你試試就知道了。

克萊茵瓶入口即是出口，且瓶邊界面無交點(輪胎不是，它入口還是入口)，在三維空間里，比如某寶上可以搜到賣克萊茵瓶的，而這些你能看到的「克萊茵瓶」都是假的，它們總要穿過自身才能做到入口即是出口。四維空間里克萊茵瓶存在，最簡單的克萊茵瓶你可以自己做出來，左手圈出一個圈做入口，右手圈出一個圈與左手圈重合，向下移動右手再翻轉一百八十度向上移動與左手圈重合，這個過程里就是一個克萊茵瓶，原理就是在原有的三維空間里，加入了時間做第四維。

你畫在二維平面上的莫比烏斯環能放到二維平面里嘛╯﹏╰

圖片的真相是跟自身相交了

如果能嵌入三維歐式空間，因為克萊因瓶是閉曲面，那麼它就是剩餘部分的邊界，三維歐式空間可定向，剩餘部分也可定向，由stokes公式，剩餘部分的邊界上就有一個非退化的2-形式，所以它的二階de rham上同調群至少一維，我們知道克萊因瓶的二階奇異同調群是零維的，而奇異上同調群與德拉姆上同調群同構，矛盾。

手機碼的。。。感覺能說的通