關於冪級數的問題？

01-04

當 $xin(a,b)$ ，且 $0 ，是否存在一個係數不全為<img src=$ 的冪級數，使得 $c=sum_{n=0}^{infty } d_{n}x^{n}$ ,其中 $c$ 為某個常數。

謝邀.

重述一下題主的問題，是否存在非平凡的冪級數 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ ，在某個區間(a,b) (0&答案肯定是不存在的，這其實牽涉到一些對收斂半徑的理解問題.

首先我們來明確一個事實：

我們知道，冪級數 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ 有一個收斂半徑 $R$ ，使得冪級數在 $(-R,R)$ 上收斂且內閉一致收斂.

如果反過來呢？也就是這樣一個問題：

如果冪級數 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ 在某點 $x=c$ 處收斂（不妨設 $c>0$ ），那麼是否必有 $Rgeq c$ ？或者說，是否冪級數一定在 $(-c,c)$ 上內閉一致收斂？

答案是很顯然的，一點點放縮就可以解決.也就是說，只要冪級數在某個正數 $c$ 處收斂，那麼收斂域不說別的，至少有 $(-c,c)$ 那麼大.

那麼現在來看題主的問題，如果換個問題，(a,b)是一個包含0的開區間會如何？這個是顯然的，因為我們可以在0處求任意階導數，從而得到所有的係數都是0.

那麼對於區間(a,b) (0&，這時候，我們能不能把原來的冪級數變成以 $d$ 為基點的冪級數呢？也就是說，我們試圖找一列 $b_n$ ，使得 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n=sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ .

那麼問題有如下幾個：

是否能通過比較係數確定 $b_n$ ？
冪級數 $sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ 的收斂半徑如何？

1比較容易處理，利用上面的事實，可以得到確定係數 $b_n$ 的式子其實是一個冪級數在 $x=d$ 處的值，那麼判斷一下收斂半徑可以把收斂性說清楚.

2的話，直觀來看，收斂半徑肯定至少是 $frac{b-a}{2}$ ，那麼能不能做到呢？其實也是前面那個事實的推論.事實上，如果知道 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ 的收斂半徑，我們可以精確地算出 $sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ 的收斂半徑.

廢話比較多了……主要是打公式比較累，所以就只寫寫思路吧……題主看看就好，細節自己check一下，如果哪裡過不去我們再討論.

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@萬方補一下細節.

現在我們希望證明，若正數x,d皆小於冪級數 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ 的收斂半徑，則有

$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n=sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ .

其中 $b_n=sum_{k=n}^{+infty}{a_kd^kC_k^n }$ .若記 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ ，則 $b_n=frac{f^{(n)}(d)}{n!}$ .

有兩個思路，一是從Taylor級數來看，我們其實要證明的是 $f(x)=sum_{n=0}^{infty}{frac{f^{(n)}(d)}{n!}(x-d)^n}$ ，右邊恰好是 $f(x)$ 在 $x=d$ 處的Taylor級數，因此可以去估計Taylor級數的余項

$R_N(x)=f(x)-sum_{n=0}^{N}{frac{f^{(n)}(d)}{n!}(x-d)^n}$

好吧我猜測可以估計出來，我沒算……

另外一個思路，我們不從函數的觀點來看，單從求和來看，我們要證明 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n=sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ ，等價於 $forall varepsilon>0exists N>0forall M>N,|sum_{n=0}^{infty}a_nx^n-sum_{n=0}^{M}b_n(x-d)^n|<varepsilon$

而 $b_n=sum_{k=n}^{+infty}{a_kd^kC_k^n }$ ，因此可以考慮這樣一個數表：

行和以及列和都注出來了。先對行求和，得到的就是等式左邊；先對列求和，得到的就是等式右邊。因此我們現在就是要證明兩種求和方式是等價的，這個的充分條件是整個數表求和是絕對收斂的。這裡可以參考菲赫金哥爾茨《微積分學教程》第二卷，定理的詳細敘述和證明就不寫了。而絕對收斂是顯然的，因為是冪級數嘛。所以求和等價。

btw 因為這個數表是上三角的，所以利用 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$ 的絕對收斂，簡單放縮一下也很容易直接證明。我算過。

再btw 用全純函數來看這個問題絕對是最快最深刻的方法，沒有之一。等到題主學了複變函數再回首的話肯定會覺得我上面全部在扯淡。

再再btw 貌似證明 $sum_{n=0}^{infty}a_nx^n=sum_{n=0}^{infty}b_n(x-d)^n$ 以及判斷後面那個冪級數的收斂半徑是某年的一個大學生數學競賽題，可以考據一下。

如果用一點複分析的知識，這個問題就很容易解決了，要用到下面的定理

定理設 $Omega$ 是 $mathbf{C}$ 中的區域（連通的開集），設 $f:Omega o mathbf{C}$ 在 $Omega$ 上解析，設 $(z_n)_{n=1}^infty$ 是 $Omega$ 中不同的點的序列，並且序列 $(z_n)_{n=1}^infty$ 的極限點在 $Omega$ 中，如果對於一切 $n=1,2,cdots$ ，都有 $f(z_n)=0$ ，那麼 $f$ 在 $Omega$ 上恆為零。