集合的極限怎麼定義的？集合的度量又是什麼？

01-05

題主說的第一個問題是關於集合列吧？這個問題最近剛開始學習，和題主簡單分享一下：（歡迎高手進行修正~）

1. 集合的極限，首先，應當還是一個集合，就像數列的極限是數（如果存在的話，當然有些地方無窮大也寫成是數列的極限），函數的極限是函數一樣。那麼我們應當試圖構建一個集合，使得其定義看起來和數列極限或者函數極限有那麼一點相似之處。

2. 以下以數列極限為例來做一個類比從而給出集合極限的定義：

數列極限的定義是：

但是數列極限還可以通過其子列的收斂情況來定義，而這正是集合列的極限所採用的方法：

我們都知道，在數列趨向極限的過程當中，其不同子列可能呈現出趨近於不同極限的情況，而這之中的最小的那一個極限，我們稱之為數列的下極限，記作liminf x_n 同樣的，數列的上極限可以定義成這些不同極限當中的最大的那一個，記作limsup x_n，而這兩個極限的鄰域（想像這兩個值是實軸上的兩個點）內都聚集了無限多個數列中的項。正因為如此，我們也稱這樣的點為聚點。而數列極限存在的時候，他的上下極限相等且等於他的極限：

這時所有的子列都趨向於同一個值。

3. 對於一個集合列：

我們也類似的定義這個集合列的上下極限：

下極限可以理解成找到這樣的元素x，構建一個」最保守的「集合，其實他的定義就是一個不減的單調集合列的極限，要求這個集合中的每一個元素不僅屬於無窮多個An，而且只能不屬於其中的有限個An，這些元素算是這個集合列所包含的元素中的」核心成員「。

上極限就是儘可能的包括多一些的元素的一個集合，其實它的定義就是一個不增的集合列的極限，那麼根據極限的思想，這個上極限集合應當包括的元素至少應該屬於無窮多個集合An吧？要是只屬於有限個An的那隨著n的增大這樣的元素不就被淘汰了？所以這樣選出來的元素可以看成集合列極限的「備選成員」。

那一個可列集的例子來形象的說明一下：把集合列比喻成一群人在開會，每開一次會更新一次角標，集合An包含了第n次會議出席的人，最終要看開了無窮多次會議之後，有沒有這樣一張人員名單，拿這張名單去對照後來每次的出席情況，發現沒有偏差，這張人員名單不需要再刪去誰，也不需要再添加誰。那麼會議的核心成員，也就是幾乎只缺席了幾次的當然應當入選其中，而在經常出席得人也很有可能（注意只是可能）躋身其中。顯而易見的是，後者的人數顯然不少於前者，寫成數學語言就是：

但是，如果後者的人數真的多於前者，那麼就有一些人雖然是活躍分子，但是我們沒辦法把他放在名單裡面，因為他完全可以很長很長時間不出席。但是我們也無法把他遺漏，因為他完全可以連續出席超級多次。所以我們得不到這樣的名單！也就是說集合列的極限在這種情況下不存在：

但是要是這樣的話：

集合列的極限就存在！因為那些核心成員就是活躍分子，除此之外核心層沒有其他人~我們定義這個人員名單為這一連串會議之下得到的核心委員會，就是這個集合列的極限：

好吧，我啰嗦的比較多了，其實前面的數列極限就是幫助後面的這種定義方法的理解的，我還沒有細究過這兩個概念內部的一致性，只能寫到這個程度，如果有新的感悟會再更新的。第二個問題是關於集合的度量的，其實就是測度論的知識吧？測度論的知識在這篇文章裡面有一個基本的說明，推薦題主去看一下：測度論--長度是怎樣煉成的[zz]

我這裡只想說測度論的知識繼續深挖下去是非常抽象的，因為數學家們竭盡全力用最嚴謹的定義去嘗試劃分那些可以被度量的集合和一些奇奇怪怪的集合（事實上不好構造但是存在）的邊界，然後給出那些可以被度量的集合的計算方法，進而推進到可以被度量的函數上去研究他們的性質（可測函數）。實變函數的很多內容跟這些理論基礎是密不可分的，不過我接觸的不多，不做詳細回答了。另外一個小的建議是：題主可以先看看概率論方面的和測度相關的內容，相對有一些直觀的內容，算是先建立一個概念吧。

我也寫了一個通俗易懂的http://zhuanlan.zhihu.com/p/23495654