如何理解quadratic variation定義中極限lim pie趨近於0pie是怎麼收斂的？

01-05

今天看Steven，看到quadratic variation有些不解；
quadratic variation中的極限讓 pie 收斂於0，而pie是一系列t的集合。
難道讓pie收斂於0就是讓這些t全部收斂於0？

這麼想不對啊，如果是不同f（t）的increasement 求和，那t都收斂於0，increasement 不全是0了么？
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上面大霧，我這個sb看書不仔細。作者專門定義了一個步長最大值，所以應該是想表達步長最大值趨近於零，上面沒問題了。

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原來dwdw=dt, dwdt=0, dtdt=0這幾個重要結論就是利用quadratic variation推導出來的。簡直朝聞道，可以去死了。
再問對於quadratic variation 有沒有什麼更進一步更深的理解？

請礦神們輕噴我這個sb

一次變差： $lim_{||pi|| ightarrow 0}sum_i|W_{t_{i+1}}-W_{t_i}|$

二次變差: $<W>_t = lim_{||pi||<br /> ightarrow 0}sum_i(W_{t_{i+1}}-W_{t_i})^2$

做隨機積分的話，最基本的一類隨機過程就是平方可積鞅，平方可積鞅有一個性質，就是二次變差有限，有這麼一個基本結論，n次變差有限的時候，那麼k次（k&n）變差為0。所以那幾個重要的結論最根本來源是這裡，不過可以直接計算然後取極限哈。

布朗運動就屬於這麼一個鞅，一階變差無限所以造成了這個過程的軌道幾乎處處連續但是沒有導數，可以驗證布朗運動的二次變差就是有限的，而一次變差無限的過程，直觀上，你可以想像一下你有一張這個過程的軌道圖，你把這個軌道某個局部一直放大一直放大，不管你放的多大你都會看到軌道上的毛毛糙糙，但是這個軌道還是連續的，這個毛毛糙糙又是什麼感覺呢，舉個例子吧，你打開一個股票軟體把一隻股票價格的分時圖不斷縮小，就是這個感覺。

而二次變差，如果不看那個極限的話，後面那個形式非常類似於時間序列的方差的估計，只不過差了係數，所以二次變差你可以和方差估計有所聯繫，比如 $dX_t = mu_tdt+sigma_tdW_t$ 這個過程的二次變差是 $<X>_t = int_0^tsigma_sds$ ,不嚴謹的說你看像不像是每個時刻波動率的加總，不過注意二次變差過程是一個隨機過程與軌道有關。

看樓主自問自答萌萌噠

Pie是一系列t的集合，||Pie||代表的是分割里所有區間長度的最大值。

有句話叫

朝聞道夕すごい

形容題主這樣萌萌噠反射弧長長噠孩子~