通過亥姆霍茲方程是如何推導出球面波表達式的？

01-05

首先寫下球坐標系下的亥姆霍茲方程:

$frac{1}{r^2}frac{partial}{partial r}left(r^2frac{partial u}{partial r} ight)+frac{1}{r^2 sin{ heta}}frac{partial}{partial heta}left(sin{ heta} frac{partial u}{partial heta} ight)+frac{1}{r^2sin^2{ heta}}frac{partial^2 u }{partial phi^2}+k^2u=0$

由於是球坐標系, 利用球諧函數分離變數作試探解: $u=R(r)mathrm{Y}^{m}_{l}( heta, phi)$ , 代入方程得到徑向的方程為:

$frac{1}{r^2}frac{mathrm{d}}{mathrm{d} r}left(r^2frac{mathrm{d} R(r)}{mathrm{d} r} ight)+left[k^2-frac{l(l+1)}{r^2} ight]R(r)=0$

做一個標度變換得到 $x=kr,y(x)=R(r)$ , 得到球貝塞爾方程:

$frac{1}{x^2}frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}left(x^2frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} ight)+left[1-frac{l(l+1)}{x^2} ight]y=0$

再做變換 $y(x)=frac{v(x)}{sqrt{x}}$ , 帶回球貝塞爾方程得到:

$frac{1}{x}frac{mathrm{d}}{mathrm{d} x}left(xfrac{mathrm{d}v}{mathrm{d}x} ight)+left[1-frac{(l+1/2)^2}{x^2} ight]v=0$

這就是在柱坐標和平面極坐標下常見的貝塞爾方程. 不過在柱坐標下常見的是整數階的貝塞爾方程, 這裡是 $l+frac{1}{2}$ 階的貝塞爾方程. 顯然可以定義球貝塞爾函數:

$mathrm{j}_l(x)=sqrt{frac{pi}{2x}}mathrm{J}_{l+1/2}(x)$

球諾依曼函數:

$mathrm{n}_l(x)=sqrt{frac{pi}{2x}}mathrm{N}_{l+1/2}(x)$ , 注意此函數在 $x=0$ 處是發散的

球漢克爾函數:

$mathrm{h}_l^{(1,2)}(x)=mathrm{j}_l(x)mp mathrm{i},mathrm{n}_l(x)$

(貝塞爾函數 J, 諾依曼函數 N 都是貝塞爾方程的解, 可以通過級數展開來獲得級數解. 對於 J, 直接在原點處展開就可以, 對於 N 要通過 J 進行構造. 這兩者是貝塞爾方程的兩個線性無關解)

由此亥姆霍茲方程的一般解就是:

$u=sum_{l=0}^{infty}sum_{m=-l}^{l}A_{lm}mathrm{j}_{l}(kr)mathrm{Y}^{m}_{l}( heta,phi)+sum_{l=0}^{infty}sum_{m=-l}^{l}B_{lm}mathrm{n}_{l}(kr)mathrm{Y}^{m}_{l}( heta,phi)$

A, B 由方程的邊界條件和初始條件給定. 這種展開的完備性由斯圖姆劉維爾定理保證

特別地, 對於 $l=0$ 的情況, 可以驗證 $mathrm{j}_0(x)=frac{sin{x}}{x}$ , $mathrm{n}_0(x)=-frac{cos{x}}{x}$ , 又因為 $mathrm{Y}_0^0=1$ , 此時球漢克爾函數對應的解就是 $u=frac{mathrm{e}^{pmmathrm{i}kr}}{r}$ 這個最常見的形式.

自己的作業請自己做……雖然我當年是抄的……

哈哈工程光學老師上課的時候說這個學理科的話很重要然後工科就沒講

這個問題是野合君提的啊喂？！

您要是知道就是您推斷了

可以看看電磁場與電磁波這本書，裡面有推導步驟。。。

首先，要這樣這樣這樣，然後，要那樣那樣那樣，嗯，接下來還有那樣那樣那樣，最後，千萬別忘了這樣這樣這樣。

吉布斯赫姆霍茲方程，好熟悉的名詞，畢業狗表示都忘了

為什麼我連題目都看不懂，好吧，我不在那個世界。

謝邀

6（civics hedgehogs are the fj xuurhdhicufiush ugh eggs and jfkjencn jejjdjcn joint venture hoc rhje bend judges and jfhdbr in urjdjfnfnnnnfj ididndnen irigjje ieiduvygbbrfbtgd jevdv

回答完畢