留數的上同調解釋是什麼？

01-05

在SGA2和Hartshorne的local cohomology中考慮過所謂的dualizing functor和dualizing modules，在一個剩餘域為k的Noether local ring A上考慮兩個functor：

M-&>Hom(M，k)

和M-&>Ext^n(M，A)

假設A的性質足夠良好（比如正則局部環），那麼這兩個函子都是dualizing的，可以證明，他們對應的dualizing modules $limlimits_{n o infty }Hom(A/m^n,k)$

以及 $limlimits_{r o infty }Ext^n(A/m^r,A)$ （這其實就是local cohomology）

都是k在A中的injective hull，按照它的唯一性他們肯定是同構的，當然顯然不一定是canonical的。

而構造這個同構基本上就是所謂Grothendieck Residue symbol了，最全的文獻肯定是Hartshorne Resdues and duality 不過總感覺這書太不好看了，Lipman的dualizing sheaves，differentials and residues on algebraic varieties給的方法比Hartshorne的簡單多了……

Hartshorne給出的trace map 有一個相對初等的解釋（c.f Lipman An elementary theory of Grothendieck』s residue symbol)

環A，B是一個A上有限生成投射模，有A代數態射 $pi:R ightarrow B$ ， $S=Rotimes_A B$ $gamma :S ightarrow B$ 滿足 $gamma(rotimes b)=pi(r)b$

於是有 $Ext^q_R(B,B)=Ext^q_S(B,Hom_A(B,B))xrightarrow{ au}Ext^q_S(B,Hom_A(B,A))$

$ightarrow Hom_A(Tor^S_q(B,B),A)$

這裡 $au$ 是從trace map（這裡和代數數論的基本上一樣） $Tr_{B/A}:Hom_A(B,B) ightarrow A$ 誘導的 $Hom_A(B,B)otimes_S B simeq Hom_A(B,A)$ 得到的

這裡的Tor函子其實就是外微分。

假設A是一個field，R是一個包含A的q維局部環，B=R/I 那麼 $Omega^qotimes_R Ext^q_R(B,R) ightarrowOmega^q otimes_RH^q_m(R)=H^q_m(Omega^q)$

和 $Omega^qotimes_R Ext^q_R(B,R) ightarrow Omega^qotimes_R Ext^q_R(B,B) ightarrow A$ （最後的映射就是上面定義的）

的交換圖就給出了留數映射 $H^q_m(Omega^q) ightarrow A$ 。這個映射和classical的留數（積分）的關係來自local to global cohomology map 和Hodge to de Rham map，最後再Poincare duality

這其實就是Griffths Harris第五章的那個留數對偶：

$res_f(h,g)=Res_0(frac{g(z)h(z)dz_1wedge dz2wedge dz_n}{f_1(z)f_2(z)f_n(z)})$

使 $O/I otimes Ext^n(O/I,Omega^n) ightarrow C$ 非退化。

這些留數映射和GTM52上提到的Serre和Tate的定義是一樣的，Lipman的dualizing sheaves……的定義方式比較像Serre，先定義P^n上的，再用Trace map過度到任意概形（這些真的和Class field theory太像了，只不過類域論是Norm這裡是Trace）

Lipman還給出了射影概形上local global duality相容的一個簡單的證明：每個射影概形的cohomology都能化成affine cone上的local cohomology，然後就很容易證明了。

像 @chuo Chan 提到的，0-&>O-&>K-&>K/O-&>0，取cohomology，能得到 $Omega_K ightarrow oplus H^1_V(Omega_V ) ightarrow H^1(V,Omega_V) ightarrow 0$

$Omega_K ightarrow oplus H^1_V(Omega_V)xrightarrow{res}k ightarrow0$

利用相容性就能得到global duality map

更有用的地方大概是Hartshorne的Local cohomology提到的證明d維scheme proper 等價於H^d的Zariski cohomology不消滅，curves要麼是proper的要麼是affine的這個定理就是它的推論……

隨手 Google 了一下：

https://www.math.purdue.edu/~lipman/papers/Algecom.pdf

自己慢慢看吧。

Serre duality那章書中介紹了曲線情況，有興趣可以看看。