有哪些牛逼的線性空間、它們的基是什麼？

01-05

學完線性代數後，你發現了哪些牛逼的，隱藏著的線性空間？
代數齊次方程的解可以構成線性空間，
齊次微分方程的解可以構成線性空間，
物理學的力，可以構成一個線性空間，
量子力學裡的態可以構成一個線性空間

函數展開應該可以算一種線性空間……
……
求數學，物理大牛們來開拓下眼界，在各個學科下，有哪些，牛逼的，隱藏著的線性空間？他們的（常用的）基有哪些，可否羅列一二？
。謝謝大家。

想舉個分析里的例子: Fréchet空間.

Fréchet空間是一類很重要的拓撲線性空間. 它的定義是局部凸的完備的可度量化拓撲線性空間. 這個定義是Banach空間定義的推廣. 在老一點的文獻里, 這往往叫做"可數模空間".

為什麼Fréchet空間很重要? 雖然Banach空間如 $L^2,W^{k,p},C^{k,alpha}$ (平方可積函數, Sobolev空間, Holder連續函數空間resp., 它們都是函數空間) 在理論上最常見, 它的常見例子也都還比較容易處理, 但是它卻遠遠不能覆蓋在實際的數學問題中遇到的拓撲線性空間. 例如, 當我們討論一個平面區域上的所有全純函數組成的空間時, 我們沒辦法為其賦予Banch空間的結構. 但它的拓撲性質卻又沒有那麼壞 (複變函數論里關於全純函數列收斂性的刻畫就指示了這一點). 這時候我們就不得不去考慮比範數更廣的結構, 即(半)範數族. 由這種考慮, 自然就引出了Fréchet空間.

Fréchet空間的實際例子相當之多, 比較常用到的是所謂Schwartz函數空間 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ . 我想重點談的也就是它. 它的定義是這樣一些無窮可微函數 $f$ 的集合: $f$ 的所有偏導數(包括 $f$ 自身)的增長都不比任何有理函數快. 一個典型例子就是Gauss函數 $e^{-|x|^2}$ . 當然, 它是無窮維的, 而且鑒於其自身的結構, 具體地寫出一個基底並沒有什麼意義. 也可以往緊微分流形上去推廣, 進而考慮 $C^infty(M)$ .

引入這樣的空間的意義首先在於, 它的元素具有相當好的正則性, 所以可以進行Fourier變換, 也適合作為"理想函數"的集合. 而且它的結構可以幫助我們研究一些方程的解. 一個有名的例子是John Nash關於Riemann流形的等距嵌入的工作. 歸根結底這問題是要求解一個泛定(解不唯一, 也沒有合適的限制條件)非線性一階偏微分方程組, 而困難恰恰在於這方程組的結構使得Banach空間上的傳統隱函數定理徹底失效. Nash於是藉助了Fréchet 空間 $C^infty(M)$ 的範數族結構, 發展出來了一套複雜的迭代技巧, 解決了這個著名的困難問題. 他的做法就是後來的Nash-Moser技巧, 或者叫hard implicit function theorem ("較難的"隱函數定理).

但僅僅用來解方程還遠遠不是 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 這類空間的全部功能所在. 有趣的是它們的對偶空間. 它們的對偶空間就是所謂的Schwartz分布空間(其實這個概念本來還可以再多多拓展, 但那就超出了Fréchet空間範疇, 進而削弱了它的物理應用, 所以就不說拓展了), 這在物理上有一些很有趣的用處. 著名的例子是Dirac delta "函數". 一般地, 將 $mathcal{S}(mathbb{R}^n)$ 的對偶記成 $mathcal{S}$ . Fourier變換也可以搬到 $mathcal{S}$ 上面來, 形成一個完善的Fourier變換理論. 另外, $mathcal{S}$ 也是量子力學的Dirac語言最合適的數學基礎. 我個人傾向於認為, 所謂的"物理Hilbert空間"其實就是 $mathcal{S}$ , 而束縛態對應的就是 $L^2$ ; 正因為平方可和, 所以才有概率密度的物理意義. 例如, 所謂的"位置本徵態" $|x angle$ 其實就是落在點 $x$ 的Dirac delta, 而對應的"彌散的""動量本徵態" $e^{ipx}$ 就是作為分布的 $e^{ipx}$ . 自然, 逃開了 $L^2$ 談論內積或模方並沒有意義, 但在量子力學中本來也不太願意談論這兩者的模方.

最後, 也可以認為量子場論的數學基礎就歸結為在 $mathcal{S}$ 上面構造概率測度. 當然, 這不是個容易的工作.

提一個微分幾何中的例子：流形上的切空間（tangent space）。

緊黎曼曲面X0(N)上的全純1-形式f(z)dz所構成的線性空間，其維數等於曲面的虧格。這些全純函數f(z)是所謂水平N的尖點型權2模形式，在證明費馬大定理中起到關鍵作用。

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

對上面這段話的解釋見附圖（大圖慎入）：

下圖裡M應為分式線性變換，筆誤。

這個必須答！

一階電路的全響應！傳說中的零輸入響應與零狀態響應正交！

混合源（電壓源與電流源）對線性電路分別提供的功率正交！

運放的兩個輸入端電壓正交(強答

學到再更

復半單李代數的基底，可以按照根系把它們寫出來。並且

1，在這組基底下，李括弧運算關係極其簡單，

2，在killing form 意義下，它們還有正交關係

3，以上關係是serre relation，可以推廣到kac moody代數中去。

回頭有空再寫。

三角函數 $exp(ix)$ 啊，不僅是線性的而且是正交的，傅立葉變換的基礎，而傅立葉變換構成了一些對這個世界最本質特性的描述，比如說，量子的位置和動量互為傅立葉變換，直接導致了測不準原理的出現。（因為位置是德布羅意波的空間域表示，而動量是德布羅意波的波長。相似的還有時間是德布羅意波的時域表示，而能量是德布羅意波的頻率。都是互為傅里葉變換。）

以前寫的關於正弦和傅里葉變換的答案

正弦函數究竟有多神奇？為什麼？ - 靈劍的回答

學科：線性控制系統、線性代數

一級學科：控制科學與工程

線性系統的狀態空間，描述了系統可能處於的所有狀態集合。

各個運動模態構成了狀態空間的基。根據這些模態的可觀可控性，還可進一步將狀態空間分解為可觀子空間、可控子空間等等，這些構成了線性系統分析的基礎。