光在等離子體的折射率為什麼會小於 1？

01-05

簡單的來講，是等離子體中的自由電子受電場力驅動而產生的電流導致的（當然離子也有貢獻，但是很小，因為離子質量遠大於電子，產生的電流也遠小於電子產生的電流）。

數學上推導：

我們先從法拉第定律和安培定律出發：

$abla imes mathbf{E}= - frac{1}{c} frac{partial mathbf{B}}{partial t} \ abla imes mathbf{B} = frac{4pi}{c} mathbf{J}+ frac{1}{c}frac{partial mathbf{E}}{partial t}$ 對第一個式子求旋度，並利用第二個式子消去磁場，我們得到：

$frac{partial^2 mathbf{E}}{partial t^2} - c^2 abla^2 mathbf{E} = - 4pifrac{partial mathbf{J}}{partial t} - c^2 abla( ablacdot mathbf{E})$

考慮電磁波時，由於電磁波是橫波(波矢與電場方向垂直)，右側第二項等於0。在真空中，沒有介質所以電流恆等於零，故等式右側為0，我們得到簡單的色散關係

$omega^2-c^2k^2=0$

也即真空中的電磁波相速度和群速度均為真空光速。

而在等離子中，電子可以自由的隨電場運動，我們可以簡單的寫出電子的運動方程

$m_efrac{partial mathbf{v_e}}{partial t}=-e mathbf{E}$

（注意此處洛倫茲力為二階小量，故可以忽略，而且可以看出由於更大的質量，離子的運動速度遠小於電子，所以電流主要由電子驅動）。接著我們可以寫出電流隨時間的導數：

$frac{partial mathbf{J}}{partial t}=-en frac{partial mathbf{v_e}}{partial t}=frac{ne^2}{m_e}mathbf{E}$

（n為電子數密度）。最後，我們將電流帶入之前的公式(3)，並且線性化該方程：

$frac{partial}{partial t} ightarrow -iomega, quad abla ightarrow i mathbf{k}$

得到：

$(omega^2 - c^2 k^2 - frac{4pi n e^2}{m_e}) mathbf{E} = 0$

定義電子的等離子體頻率為：

$omega_{pe}^2 = frac{4pi n e^2}{m_e}$

我們得到等離子中電磁波的色散關係：

$omega^2 = c^2 k^2 + omega_{pe}^2$

並且可以進一步計算電磁波的相速度:

$v_p = frac{omega}{k} = sqrt{c^2 + frac{omega_{pe}^2}{k^2}}= c /sqrt{1-frac{omega_{pe}^2}{omega^2}}>c$

根據折射率的定義，得到等離子體的折射率為：

$n=frac{c}{v_p}= sqrt{1-frac{omega_{pe}^2}{omega^2}} < 1$

以上結果表明，在等離子體中，電磁波在傳播的過程中會驅動自由電子產生電流。這個電流使得電磁波的相速度大於真空光速，但是可以計算，它的群速度為：

$v_g = frac{partial omega}{partial k}=c^2 /v_p=csqrt{1-frac{omega_{pe}^2}{omega^2}}<c$

仍然小於真空光速，並不違背相對論。