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e^x的定義問題？

01-05

為什麼e^x的定義在中學和大學有所不同？高等數學和數學分析的定義差別也很大，這是為什麼呢？

$exp(x)$ 和 $e^x$ 之間的區別有點微妙

定義1.（指數函數）定義指數函數 $mathrm{exp}:mathbf{R} omathbf{R}$ 為

$mathrm{exp}(x):=sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}x^n,; xinmathbf{R}$

使用比例判別法可知，對於每個實數 $x$ ， $sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}x^n$ 都是絕對收斂，所以對於每個 $xinmathbf{R}$ ， $exp(x)$ 都存在且為實數，冪級數 $sum_{n=0}^infty frac{1}{n!}x^n$ 的收斂半徑是 $+infty$ ，於是 $exp$ 是 $(-infty,+infty)$ 上實解析的函數。

指數函數的基本性質有

1.對於每個 $xinmathbf{R}$ ， $exp(x)$

2.對於每個 $x,yinmathbf{R}$ ， $exp(x+y)=exp(x)exp(y)$

3. $exp(0)=1$ ，還有，對於每個 $xin mathbf{R}$ ， $exp(x)$ 都是正的，而且 $exp(-x)=frac{1}{exp(x)}$

可以把指數函數寫成更為簡潔的形式，引入Euler數

$e=2.718;281;83cdots$

定義2.（Euler數）定義數 $d e$ 為

$e=d{exp}(1)=sum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!}=frac{1}{0!}+frac{1}{1!} +frac{1}{2!}+frac{1}{3!} +cdots$

我們有下面命題

命題. 對於每個實數 $x$ ，有 $d{exp}(x)=d {e}^x$

證明. 先證當 $x$ 是自然數時成立，其次證明當 $x$ 是整數時成立，然後證明 $x$ 是比例數時成立，最後使用實數是比例數的極限來證明對於一切實數成立

注. 其中 $d e^x$ 表示的是Euler數 $d e$ 的 $x$ 次冪，關於實數的指數運算的定義，請見下面的定義

附：實數的指數運算的定義

首先從自然數開始

定義1. （實數的自然數次冪）設 $x$ 實數，為使 $x$ 升到 $0$ 次冪，我們定義 $x^0:=1$ ，現遞歸地假設若 $x^n$ 對於某自然數 $n$ 已定義，則我們定義 $x^{n+1}:=x^n imes x$ 。

由定義可知，對於任何實數 $x$ 有 $x^0=1$

定義2（實數的整數次冪）設 $x$ 是不為零的實數，那麼對於任何的負整數 $-n$ ，我們定義 $x^{-n}:=frac{1}{x^n}$

現在我們考慮非整數次冪運算，我們從 $n$ 次根的概念開始

定義3. 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $ngeq1$ 是正的整數，我們定義 $x^{frac{1}{n} }$ ，叫做 $x$ 的 $n$ 次根為 $x^{frac{1}{n}}:=sup$ { $yin mathbf{R}:ygeq 0 ext{且}y^nleq x$ }

我們常把 $x^{frac{1}{2} }$ 記作 $sqrt{x}$ 注意，我們沒有定義零的 $n$ 次根，也沒有定義負數的 $n$ 次根，我們就此止步。在我們定義複數之後，就可以定義這些根了。

$n$ 次根是存在的，並且還有下面性質

設 $x,y>0$ 是正的實數，並設 $ngeq 1$ 是正的整數

1.如果 $y=x^{frac{1}{n}}$ ，那麼 $y^n=x$

2.反之，如果 $y^n=x$ ，那麼 $y=x^{frac{1}{n} }$

3. $x^{frac{1}{n}}$ 是正的實數

現在我們來定義如何把一個正數升到比例數 $q$ 次冪

定義4. 設 $x>0$ 是正的實數，並設 $q$ 是比例數，為定義 $x^q$ ，我們把 $q$ 寫成某整數 $a$ 與某正整數 $b$ 的比， $q=frac{a}{b}$ ，並定義

$x^q:=(x^{frac{1}{b}})^a$ 注意，每個比例數不管是正的，負的，還是零，都可以寫成 $frac{a}{b}$ 的形狀，其中是 $a$ 整數，是 $b$ 正整數

最後我們來定義實指數的指數運算

定義5.（實指數的指數運算）設 $x>0$ 是實數，並設 $alpha$ 是實數，我們定義 $x^alpha$ 為 $(x^{q_n})_{n=1}^{infty}$ 的極限，其中 $(q_n)_{n=1}^{infty}$ 是任何收斂到 $alpha$ 的比例數序列，即

$x^alpha :=lim_{n ightarrow infty}{x^{q_n}}$ 這一定義是定義良好的(well-defined)，實指數的指數運算有如下性質

設 $x>0$ 是正的實數，設 $q,r$ 是實數

1. $x^q$ 是正的實數

2. $x^{q+r}=x^qx^r$ ，並且 $(x^q)^r=x^{qr}$

3. $x^{-q}=frac{1}{x^q}$

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