正態分布里為什麼會出現自然底數e和圓周率pi呢？

01-05

我認為這要從正態分布的起源說起。

首先，我們只需要弄清楚為什麼 $e$ 會出現就行了，因為 $pi$ 的出現只是由於歸一化條件罷了。

正態分布的發現起源於對觀測誤差的建模, 下面同統計學的思想來簡單說明一下，從這個過程就能知道為什麼 $e$ 會出現在正態分布的密度裡面了。

假設 $mu$ 為真實的值， $x_i$ 為觀測得到的值，由於觀測具有隨機性，我們將觀測偏離真實值的的大小 $x_i-mu$ 用一個概率密度函數 $p(x_i-mu)$ 來刻畫。對於這個 $p(x)$ , 我們只需限定其關於 $x=0$ 對稱， $p(x)>0$ 恆成立，且具有連續導數；除此之外，進一步假定，樣本均值 $frac{sum_{i=1}^nx_i}{n}=hat{mu}$ 為 $mu$ 的極大似然估計；那麼我們就可以斷定，這個 $p(x)$ 就是我們所熟知的高斯核。注意我們這裡提出的對 $p(x)$ 的對稱性，嚴格正性，光滑性的限制是建立在對於觀測誤差的一些合理假設上的；樣本均值的極大似然性假設則是統計學的思想，即樣本均值是對於 $mu$ 的一個比較合理的估計。