如何根據剛架單元的剛度矩陣得到一端剛接、一端鉸接的單元的剛度矩陣？

01-05

平面剛架相當於平面梁單元加平面桁架單元，受彎與受拉壓之間沒有偶聯關係，所以可以分開處理。鉸接不會改變軸向剛度，所以只考慮受彎剛度的變化。

平面梁單元四個自由度，分別對每個自由度施加單位位移，四個自由度的力就是相對應的剛度。

所以單元的剛度矩陣是

同樣，對於一端鉸接的單元也是如此。只不過因為加了彎矩釋放的鉸接，形函數發生了變化，或者說發生了不同的變形。

所以這種單元的剛度矩陣是

問題解答完畢。

如果想要三維單元的剛度矩陣，原理相同，依次類推。

上知乎效率一點也不低，只要別忘了邀請我就行～～

PS 我不知道哪裡錯了，隨便說對方「犯了個非常非常嚴重錯誤」，這算不算是「認真的學術討論」呢？

我明天要跟古德諾老爺爺說，人家說他教的都是錯的！

確認一下是不是正確的呢？

第一自由度單位位移，位移函數的一階導數是轉角，二階導數乘以EI是彎矩。邊界條件符合。

第二自由度，形函數為0。

第三自由度，邊界條件符合。

第四自由度，兩端點位移為0，右端單位轉角，也符合邊界條件。求算剛度：

電腦上看推導過程好累。。。。翻到很久前本科FEM基礎課。比起讀研時候FEM1。2 PLATE SHELL的矩陣突然看到beam覺得實在是簡單一目然好多。

不過我覺得兩位都很贊！！！！！！

@豬小寶的剛度矩陣沒錯。@Xiaoyao Wang 你也是對的

豬小寶的推導過程中（如圖3）是假設在u2=0(比較圖一)的情況下推出的。因為F2 (M)必須等於0 。

但是大部分計算都是以圖一的矩陣來求算的。圖二可以看出這種結構的u1 u2 u4都是等於0，劃掉這幾排的話確實是只剩下K44這一項了。Xiaoyao Wang 也是對的。

那問題是什麼？如果比較圖4和圖5。是同一個題目。第一種方法圖四的兩個單元都是取的剛接剛接下推出的矩陣。第二種方法是在第一段和第二段取得本身特有的矩陣，也就是鉸接剛接的矩陣加剛接剛接的矩陣。最後計算結果當然是一致的。

但是所有FEM軟體計算時候剛度的矩陣只用一個，這樣的話總的K可以在外界邊界條件下變化保持不變。所以我個人覺得給不同的邊界條件推一個剛度矩陣沒實際意義。而且不同矩陣外力的分布也是不同的圖6-7。推導類似剛度矩陣的推導。

給你一個簡便的矩陣推導吧，按照物理概念即位移函數建立是一種辦法。還可以根據剛架單元剛度進行靜力凝聚直接推導出來。

一端固定，一端鉸接，假定釋放右端轉角，則令M2=0，對 $heta _{2}$ 進行靜力凝聚.然後回帶，只剩前三個自由度。

$K imes Delta =F$ ,其中

1. $F=trans(left[ f1,f2 ight] )$ , $f1=left[ V1,M1,V2 ight]$ , $f2=M2$

2. $Delta =trans(left[ d1,d2 ight] )$ , $d1=left[ upsilon 1, heta 1,upsilon 2 ight]$ , $d2= heta 2$

最後附實際中常用的單元剛度

------- 再次更新----

可能最後一更，上班比較忙，盡量回答下面的回復。

還有小寶晚上早點睡。磚是老闆的，身體是自己的，祝早日畢業！

盲目拜神不是針對小寶，畢竟他是我們樂於助人，治學嚴謹的同濟人。但是是有些人完全不思考，有些題目太傻比，我對知乎非常失望。參見「你喝過的最提神的飲料是什麼？ - 程嘯的回答」

我認為小寶的答案還是錯的。我在RISA-2D裡面建立了小寶所用的模型，

1. "單元"屬性：

一端fixed，一段帶release。

A=10 in^2 I=10 in^4 E=10ksi

2. 模型如下：（L=14）

3. 為了計算由這個「單元「組成的」結構」的位移，加支座：

注意右端也為剛接，因為已經有一個release了。

4. 加節點荷載：

Fx1,Fx1,Fy1,Fy2=100 kip Mx1,Mx1=100kip-ft

5. 結構如圖：

注意右端有一個Moment release，小小的被箭頭擋了一點

6.支座反力：

7. 結構位移：

這樣做出來右端的Z軸轉動為0。

符合了我和豬小寶用moment release的方法得到release那個節點的剛度為了0，（我的44項，他的22項）。

我認為不是因為誰推的有錯，而是不能用這個方法。

我又去查了下書，在「Matrix Analysis of Structures" -- Robert E. Sennett, 2000 的59頁，推導Eqn 3.2 3.3 所用的是 Figure 3-3。這個最後推出來是鋼架單元的單元剛度矩陣 -- Eqn .8，一般我們認為是兩端固接推出來的，但是他用的是"兩端鉸接"的模型。

本來在求單元剛度矩陣的時候就是不考慮邊界條件的，我們一定要在「單元」層面考慮的話，只能推出錯誤的結果。

所以我建議題主，看我最開始的答案，用 $frac{4EI}{L}$ 就好了。

這些討論應該超過了題主所問的內容。

爭取以後有機會再去亞特蘭大，跟小寶面基。 @豬小寶

---------更新---------

豬小寶在上面也回答了，也說了他效率很高。

他的答案是錯的。

希望知乎可以認真的學術討論而不是盲目拜神。

用他的方法的正確答案我貼出來如下，明天更新詳細解釋。

注意！這樣求得話，我們的release那項都是0（我的4,4項，他的2,2項）。

小寶錯誤原因我沒猜錯的應該如下：

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樓上說了那麼多，題主可能剛學結構力學還是不太能理解文字表述。

做工程師不如看圖看式子簡單粗暴。

首先要明確，這已經是一個結構的剛度矩陣了，雖然是只有一個單元，但不再是單元剛度矩陣了。單元的剛度矩陣是奇異的(singular)，已知力(F)是求不出位移(Δ)的。單元是一個可以自由移動自由轉動沒有約束的小剛體。在下面這個公式里，單元可以給出無數解，而結構只能給出一個解。

一端剛接一端鉸接的結構是這個樣：

它的形變是這樣：

一個平面鋼架單元有6個自由度，每端3個（X位移，Y位移和Z的轉動）。對應的剛度矩陣是6*6的矩陣，從左到右為左端XYZ，右端XYZ，從上到下也是一樣。當一個單元變成了一個有約束的獨單元結構，它的自由度就會降低。至少要3個約束，也就是結構下降到在3個自由度以內才能求有解。

題主所問的結構，有5個約束，一端三個（X，Y，Z），一端兩個（X，Y），只剩餘一個自由度。所以在形變的時候只能如上圖所畫產生右端的轉角（θ）。

單元剛度矩陣如下：

國內一般教的法則是，缺少哪一個自由度，刪去相應的行和列。這裡僅剩一個右端轉角Z方向轉動，刪去第一行到第五行，第一列到第五列，那麼僅剩的一項為第六行第六列：

這就是你要求的剛度矩陣，是一個1*1的矩陣。

其實用電腦算有限元是去選對應的矩陣元素，比如我們上課用電腦寫的算結構位移的小程序不會刪單元剛度矩陣的元素，而是在組建整體剛度矩陣的時候去選相應的單元剛度矩陣的元素，填到相應的整體剛度矩陣元素位置進行相加。

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這種問題還是直接問上課老師比較好，上知乎提問效率太低。還有，題主最好把第二個「單元」改成「結構」。

瀉藥！

回答的晚了，對不住

陸漸的說法沒錯，但題主的問題可能是想知道單元剛度矩陣降階的原理了

我簡單粗暴的理解了下，但可能是有錯。

剛架單元有六個自由度，如果忽略幾個自由度的話相當於單元所在的維度降低了，我們設置一個對角的坐標變幻矩陣，將約束死的自由度設置為零，然後對剛度矩陣進行一下坐標變換，可以想像，對角為零所對應的結果矩陣的行和列都會為零，而這些行列就可以刪掉，這樣，就實現了降階。

另外，剛度表達的是單位位移需要的力的大小，如果不去考慮某個自由度的位移的話，該自由度對結果的影響就可以不計，而該自由度影響的就是剛度矩陣中對應的行和列，因此刪除即可

2015.2.18 東八區3:30

自己為大年三十還在爭論的我們點個贊~

這一段的內容是為了驗證

Xiaoyao Wang

豬小寶

兩位誰寫出來的剛度矩陣是對的，首先要定義一個問題來檢驗這個

假設這樣一個問題，一根左端固定於基礎，右端鉸接於基礎的梁，參數為

$EA EI l$

對左側基礎施加1的轉角，求內力以及變形

結果是，左側固端彎矩為

$frac{3EI}{l}$

整個樑上剪力均為

$frac{3EI}{l^{2} }$

然後梁兩側的轉角分別為1和-1/2

先不考慮符號，只看數值，等下根據坐標系再去標

選擇這樣一個坐標系，標出方向為正，然後分別寫出兩位的剛度矩陣

在這之前，請再回顧一下我們的一般性梁單元（不考慮軸力）的單元剛度矩陣（單元坐標）

Element stiffness matrix at local coordinate

$frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 126l-126l\6l4l^{2}-6l2l^{2}\-12-6l12-6l\6l2l^{2}-6l4l^{2}end{bmatrix}quad$

@Xiaoyao Wang

$frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 126l-120\6l4l^{2}-6l0\-12-6l120\0000end{bmatrix}quad$

@豬小寶

$frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 3-3l-30\-3l3l^{2}3l0\-33l30\0000 end{bmatrix}quad$

位移向量為

$Delta =egin{bmatrix} v1\r1\v2\r2 end{bmatrix} =egin{bmatrix} 0\1\0\-frac{1}{2} end{bmatrix}$

單元節點力為

$F=egin{bmatrix} V1\M1\V2\M2 end{bmatrix} =egin{bmatrix} frac{-3EI}{l^{2}}\ \frac{-3EI}{l}\ \frac{3EI}{l^{2}}\ \0 end{bmatrix}$

能夠符合

$F=KDelta$

的是一般性梁單元矩陣和豬小寶的矩陣

Xiaoyao Wang的並不符合，但是我想他不一定是錯了,因為我覺得問題出在我的位移向量上面，需要做變化，類似自由度凝聚這樣的處理。

原因我仔細想了一下，我也大概想明白了，和矩陣構建方式有些關係，豬小寶的矩陣可以通過一般性梁單元矩陣通過凝聚自由度得到（Condense）不過實在是太晚了，我就睡一覺白天再來更新吧。

2015.2.18 4:45

躺下也睡不著，腦子了全是矩陣，還是爬起來寫完一些

$F=egin{bmatrix} V1\M!\V2\M2 end{bmatrix}= frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 126l-126l\6l4l^{2}-6l2l^{2}\-12-6l12-6l\6l2l^{2}-6l4l^{2}end{bmatrix} egin{bmatrix} v1\r1\v2\r2 end{bmatrix}$

$frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 126l-126l\6l4l^{2}-6l2l^{2}\-12-6l12-6l\6l2l^{2}-6l4l^{2}end{bmatrix} egin{bmatrix} v1\r1\v2\r2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} V1\M1\V2\M2 end{bmatrix}$

對於這樣一根桿件，M2=0

可以得出

$6lcdot v_{1}+2l^{2}cdot r_{1}-6lcdot v_{2}+4l^{2}cdot r_{2}=0$

帶入原始方程就能消去r2項，結果就是

$frac{EI}{l^{3}} imes egin{bmatrix} 3-3l-3\-3l3l^{2}3l\-33l3 end{bmatrix} egin{bmatrix} v1\r1\v2 end{bmatrix} = egin{bmatrix} V1\M1\V2 end{bmatrix}$

這就是豬小寶的答案

通過這樣的處理可以消除掉多餘的r2自由度

2015.2.17 12:30

這個答案是為了和 @Xiaoyao Wang討論用的，結果當然是錯的，但是討論是有益的

桁架單元的矩陣是

$frac{EA}{l} imes egin{bmatrix} 1 0 -1 0 \ 0 0 0 0\-1 0 1 0\0 0 0 0 end{bmatrix}quad$

這個矩陣可以從這個梁單元的剛度矩陣退化得出，即將v,r對應的剪力彎矩相關的行列置零就是桁架單元的剛度矩陣。而桁架單元是「兩端鉸接」的單元，兩端鉸接不等於兩端鉸接於基礎，可以使鉸接在別的東西上。

$frac{EA}{l} imes egin{bmatrix} 1 0 0 -1 00 \ 0 0 0 000\ 0 0 0 000 \-1 0 0 1 00\0 0 0 000\0 0 0 000 end{bmatrix}quad$

同樣的，如果是題主提出要求的一端剛接，一端鉸接

$frac{4EI}{l} imes egin{bmatrix} 0 0 0 0 00 \ 0 0 0 000\ 0 0 0 000 \0 0 0 0 00\0 0 0 000\0 0 0 001end{bmatrix}quad$

可以做出這這樣一個單元剛度矩陣，仍然是（singular）的矩陣，

我覺得您的問題還是在於單元和結構的界定，我的單元剛度矩陣可以是多種多樣的

刪除所有零行和零列，是在集成總剛度矩陣（Total Stiffness Matrix）時候做的，在單元這一步應該需要保留這麼多零。

舉個例子

比如這樣一個結構，斜線表示無限剛梁（Rigid Beam）對於那根紅色的梁，我可以做出這樣一個單元，是的，這個單元可以通過一般梁單元集成在總剛矩陣裡面，但是我也可以每一個梁都當成一個單元來求一個單元剛度矩陣。

錯誤在這裡

我認為這不能算是個單元。單元的剛度矩陣在單元的Equlibirum上面建立的，就是靜力平衡上建立的。比如桁架單元，F1+F2=0，F1和F2分別為左端右端軸向力。那麼在取你這個單元的時候是沒有靜力平衡的，M2=0？所以你這個不單元其實是推導不出來單元剛度矩陣。你必須再去掉一個約束才行，比如兩個轉角約束，這樣才有M1+M2=0，或者一個位移一個轉角V1*L+M1=0

剛推導的，學有限元學到的，雖然方法沒有樓上各位大佬高級但也算遵守了題意。下面說正事，我原本想搜等效結點荷載公式原理的，但沒找到，哪位大神幫我看看書上那個等效結點荷載怎麼推出來的啊！！！

前輩們辯論得很激烈，豬前輩用的是增量變剛度法里的知識，我覺得問題不大，轉角行0的意義是無論怎麼變形，也不會再產生力，即該轉角已變成塑形鉸。

我認為該剛度矩陣不是6個自由度的，因為只能考慮有約束的位移，所以是5個自由度的矩陣。

即5*5的矩陣，該矩陣不能求鉸接處的轉角,也不能處理鉸接點處存在集中彎矩的情況。

如下

理由為朱老爺子書上一句話：矩陣中第n列元素的值為第n個位移取1時各個位移處的反力值。

有限元元里處理可以用6個自由度的矩陣加約束方程。

也可以直接在鉸接點處增加角位移，每個角位移各佔一行一列即可。

好好學朱慈勉的結構力學去

學渣給各位大神跪了

由這個問題就可以看出各位知乎er對結構力學的學識水平了

小寶的每個剛度係數沒有算錯，用算出的係數就組成了剛度矩陣。而另一種答案強調了消去約束後對應矩陣的行列為0，這沒有問題。但其他的係數還完全跟沒有去掉約束時一樣，我覺得結論太牽強了。如果真是這樣，能否貼出結論的權威出處？還有一點，剛度矩陣由剛度係數組成，某個係數就是某個自由度方向有1位移而其他自由度都沒有位移時導致所有約束的反力，在有彎矩約束時，考慮豎向位移為1時的剛度係數，此時肯定是沒有轉角的。而當沒有彎矩約束時，自由度減少一個，在考慮同樣的剛度係數時，轉角就不必控制了。這兩個情況對比下來，邊界條件是應該被考慮進去的。

一端剛接一端鉸接梁的剛度矩陣和普通梁單元的剛度矩陣是相同的，而剛接和鉸接作為邊界條件加到有限元方程上。一般的邊界條件施加方法有划行劃列法，置一法，置大數法，罰函數法等。對於實際的邊界條件，如果簡單考慮，可以簡化成以上幾種方法之一，如果複雜考慮，需要用以上幾種邊界條件的組合去模擬實際情況，有時需要根據研究對象的特點提出自己的邊界條件等價方式，此時高大上的論文就要出爐了，哈哈哈哈哈哈~~~

剛接就是該端所有自由度為零，在剛度矩陣中將這些自由度編號所在的行和列去掉；

鉸接就是該端位移自由度為零，同樣在剛度矩陣中將這些自由度編號所在的行和列去掉；