固體物理中的倒格子有什麼用？

01-05

固體物理中為什麼要引入倒格子的概念，學了三個單元了也沒用到過，求大神具體解釋下Orz

按照教科書的說法，倒格子就是正格子的傅立葉變換，代表動量空間。

然而這種說法顯然不是題主想知道的。

那我來舉個栗子：

1. 如果現在有一杯水，水在杯子里來回振蕩。想描述清楚這一振蕩，怎麼辦？

簡單，只要拿個攝像機拍下來即可 --- 這是實空間描述。

2. 如果現在把水杯換成一個浴缸，怎麼辦？

拿個廣角攝像機拍即可 --- 更大的研究體系對研究設備提出更高要求。

3. 如果是太平洋......

我放棄了.....等等，我們換個角度

雖然我們不能實時監控每個浪花的位置，但是鑒於我們研究的太平洋比較奇特，它能繞地球一圈，且浪花在行進的過程中不變。因此我們只要蹲在一個地方觀察浪花的速度就行了。浪花跑得快的就繞圈繞的快，跑得慢的就繞圈繞的慢。我們對浪花速度分得越細，就能越精細得分辨出不同尺度水面情況。

好了，原來不可能完成的事情換了個角度解決了，這就是為什麼要從實空間觀測轉到速度空間觀測的原因。

專業點，晶體是有無限空間平移對稱的體系，所以實空間描述是不可能的。但如果使用倒格子，就可以用無限細分的k網格來描述，這就是為何引進倒格子。

實際應用在哪呢，簡單的舉個例子，如果我們想算一個晶體是不是導電，

1. 用正格子：我們需要個一個巨大的體系比如 $10^{23}$ 個，然後寫出這個體系的哈密頓量 $10^{23} imes 10^{23}$ 維，然後算出這個哈密頓量的本徵值(喂喂...)，然後根據本徵值的密度得到能態密度。顯然這種方法是開玩笑的

2. 用倒格子：用一個原胞的所有原子，比如兩個，然後採樣出幾十個K點，在每個K點算出對應的H (2x2)，然後解本徵值(So easy...)，然後根據本徵值的密度得到能態密度。

顯然只有第二種情況是可能的。因此在晶體計算中，倒格子是必須要用到的工具。

對於初學者了解上面的概念就行了，下面對其中不嚴格的地方略做說明：

1. 實空間的無限大對應倒空間無限密，理論上都需要做截斷才能計算。

2. 倒空間採樣有專門的方法，也就是所謂K-Sampling，目前幾乎唯一的好用的方法是Monkhorst-Pack (PhysRevB.13.5188)，至於公認程度看引用.....

3. 倒空間採樣遠比實空間有效，因此密度不需要很大。在原胞較大時，單Gamma點都是可行的。

4. 實際的計算例子最常見的莫過於DFT，尤其是Plane-Wave DFT如VASP和Quantum Espresso，在這些軟體中K採樣是必須必要必備的。

最後感謝@李巨格，@Jason Guo在哪裡指點，這裡寫出倒格子的定義，以免讀者被我不嚴格的定義誤導：具有布拉伐格子周期性的平面波波矢所構成的集合即為其倒格子（Ashcroft and Mermin, Solid State Physics, Chap. 5）對於更嚴格的說明也請參見該書第五，六，八章。

這個其實很簡單，我覺得其他的答案說得太複雜了。

假設一個函數 $f(x,y,z)$ 是三維周期函數， $f(x+a,y,z)=f(x,y+b,z)=f(x,y,z+c)=f(x,y,z)$

那我們可以對他進行傅立葉分解，

$f(x,y,z)=sum_{k_1,k_2,k_3}f_{k_1,k_2,k_3}e^{i(frac{2pi}{a}k_1x+frac{2pi}{b}k_2y+frac{2pi}{c}k_3z)}\=sum_{k_1,k_2,k_3}f_{k_1,k_2,k_3}e^{ivec{K}cdot vec{r}}$

其中 $k_1,k_2,k_3$ 取所有整數, $vec{r}=(x,y,z)$ , $vec{K}=(frac{2pi}{a}k_1,frac{2pi}{b}k_2,frac{2pi}{c}k_3)$

這是在三個坐標軸上呈周期性的函數。而在固體物理中，我們處理的周期函數有細微的不同。固體物理中的晶格周期往往不是在三個坐標軸上呈周期性的，而是在三個初基平移矢量 $vec{a_1},vec{a_2},vec{a_3}$ 上呈周期性的。而我們上文的函數，對應的是 $vec{a_1}=(a,0,0),vec{a_2}=(0,b,0),vec{a_3}=(0,0,c)$ 的特殊情況。

而在一般的情況中，我們之前的傅立葉分解就要做一些變化。具體來說就是把 $vec{K}$ 變成倒格矢 $vec{G}$ ,倒格矢的表達式書上都有我就不打了。

提主可以自己驗證，倒格矢在 $vec{a_1}=(a,0,0),vec{a_2}=(0,b,0),vec{a_3}=(0,0,c)$ 的情況下可以退化回之前的結果。

——————多圖殺貓，流量預警——————

剛剛考完材料物理來強答一番。

首先你要明白一些跟量子力學，薛定諤方程有關的東西。（以下截圖來自於徐保民老師的課件，版權歸他所有，不準轉載，不準轉載！）

首先來複習一下薛定諤方程：

如果明白薛定諤方程的含義(conception of matter wave/ possibility/ normalization condition)的話，我覺得距離理解倒格子就不遠了。

在薛定諤方程的一維形式中我們可以推導出一個自由電子在勢阱(0,a)中的情況，如下圖：

這裡列舉了一個勢阱的情況，我們可以根據電子的特點(time-independent)寫出對應的薛定諤方程（右邊的式子）並且利用BC(boundary condition)解出這個波函數的通解：

如何解偏微分方程是數學方法我就不談了，最後得到的形式應該如圖：

這是方程的解，然後我們再帶入兩個BC條件可以看到

利用歐拉方程展開後面的exp部分，可以得到2Asin(αa)=0這樣的形式。α則是一個由電子質量和電子能量定義的值。sina(αa)=0的解不必多說，高中生都能解出來。這樣我們就得到了由n(int)作為變數定義的α的值。也就是說不同的n就會定義出不同的E，就是我們常說的E1，E2，E3...了。這裡的n也就是量子力學/化學原理里提到的原子的主量子數。如下圖所示：

叨叨了這麼多之後，我們再來看看著名的Kronig-Penny Model

也就是說在晶體之中，因為原子的順序排布，我們可以將這個原子內的電場視為如下圖的樣子：

V0是一個較大的能量，建立起了一個限制電子運動的勢阱/勢壘，再由於晶體的周期性，這個I區和II區會不斷的重複。

同樣利用BC(4個)和薛定諤方程。再加上Bolch Function的轉換我們可以計算出來這個Bolch Function,使得計算變得更簡單直觀——

數學過程不表了，最後顯然會得出四個等式(u1=u2 du1=du2 分別是在x=0或者x=-b or a的情況下），由於微分方程的解的特性，會有4個exp的係數ABCD。利用四個線性方程解四個係數，運用一些線性代數的原理（行列式=0則有非零解）我們最終可以得到：

然後再引入一些K-P Model的假設

就可以將整個式子化簡成：

現在令sin的係數為P（一個與晶體有關的係數），對於題主的問題，才真正要邁入大門。

下面我簡單的只敘述題主想問的情況。我們在討論倒格子的布里淵區以及其他電學性能的時候常常是在探討自由電子的屬性，也就是P趨近於0的情況(V0b很大，相當於II曲是個很深的勢阱，這樣就可以使電子可以被視作自由電子)，這個時候方程變成了cosαa=coska，這裡k是波矢。

重點來了。

解這個方程我們可以看到:

αa=ka+2nπ → α=k+2nπ/a

有沒有看見熟悉的東西？(2n/a)對嗎？

別著急，慢慢來，把α帶回那個有E的表達式，我們可以解出E的表達

E和kx畫出圖形來是這樣的：

有沒有覺得似乎有一點迷之和倒格子相似了？？

沒錯，這裡的kx作為波矢單位是(m^-1)此方，定義是2pi/x，其實就是一個距離的倒數。也就是說當我們要考慮晶體正點陣里各個點之間的電場作用的關係的時候，如果引入倒易點陣，就可以畫出如上圖的，直觀表達能量分布的圖形了！

所以我們可以看到，倒格子的引入是為以後能量的討論方便做貢獻，為了能畫出如下圖這樣簡單清晰粗暴明了（？）的能帶圖做鋪墊。

啊好累...但是其實還是覺得自己講得不清不楚的...果然還是授課老師水平高深，愈發佩服他了！

其實題主要問的問題知道了數學方法和薛定諤的一系列推導之後是很方便解釋的，但是題主說學了固體物理3章都摸不著頭腦，我想肯定是老師選擇的教學順序有點問題。之前我大二下學期學晶體學的時候也對WS原胞還有倒格子非常不能理解，直到這學期學了材料物理才終於把這一切搞通透！所以我認為這些繁雜的推導過程是非常有必要也有助於我們對各種物理方法的理解的！！

就是這樣……（為什麼寫了這麼多總感覺我還在複習材料物理……天啊真是我知乎上最有乾貨的一篇答案了T T

我今天又看到一個相關的問題，發現這個科普確實很有重要，所以準備完善一下，也同時希望更多高手前來指正。

實名建議現在那個贊數最多的答主 @charleslian 修改答案，因為第一句話在我看來只對了半句。倒格子確實是實空間的傅里葉變換，但是倒格子和動量空間不是一回事，證據如下：

（1）倒格子的出現遠比量子力學出現的早。我們知道，得益於德布羅意1923年提出的物質波，人們才把波矢和動量聯繫起來的，但是早在1912年，一個名叫Paul Ewald的人已經的發展出了所謂的Ewald sphere去研究X-ray在晶體中的散射了，而這個sphere的應用正是在倒空間里。

（2）實空間進行傅里葉變換之後，倒空間的每一個點代表一個和實空間中一組晶面垂直的向量，並且大小等於晶面間距的倒數，而在動量空間中，每一個k值並不代表同樣的向量，並且最重要的是，動量空間的k只有在研究電子或是聲子是才有意思。

（3）以電子波為例，動量空間里的k是因為bloch theory中引入的周期性條件所出現的一個常數。然後有趣的是，一般晶體符合空間平移對稱性，根據Noether"s theorem，這個對稱性對應著動量的守恆，所以從某一些方面講，這個k具有動量的守恆性質，所以人們稱它為crystal momentum。同時注意，這個k真的和倒易空間里的k沒有什麼關係。只不過是周期性邊界條件迫使動量空間的k所取的最大值恰好和倒易空間里第一布里淵區的邊界重合而已。

倒易空間最主要是用來分析晶體結構的，例如XRD或是電子衍射。因為人類沒有辦法直接看到實空間中原子的排布，所以只能通過倒易空間逆推。倒易空間延續了實空間里晶體的對稱性，有興趣題主可以看看Laue group。通過分析倒易空間，晶體的結構或是原子的配位數都可以得到，這個在非化學計量化合物中已經研究爛了。

等你學到chap4的時候就知道這個玩意多麼有用了。我個人認為倒格子是固體物理學裡最偉大的發明之一。

倒格子的本質是對空間做傅里葉變換。

用對偶空間實現正交坐標系下的效果，方便分析、如是而已。

至於在此基礎上發展出了什麼，那是後話。

方便處理。好多問題是在動量空間下的。

實空間具有周期性排布的特點，可以利用傅里葉變換將其投射成倒空間。電子具有波粒二象性，概率波可以很好的描述電子的行為，由於倒空間量綱為實空間量綱倒數，其正好可以更加方便表示波矢的方向，大小。

以上。

首先強烈推薦

by Charles Kittel - eighth edition

國內記得有翻譯版本

然後答案中已經有答主回答了相關傅立葉變換的信息。作為補充。其實可以理解為空間上x y z 軸與晶格lattice的關係。理解完畢可以很方便的解答Miller index了。

我也來試著科普一下，如果有錯請各位專家批評指正，咱別誤人子弟，同時也糾正一下我的錯誤理解。

我認為：（音樂特效噔噔噔）使用倒空間實質是在做了一個分類處理。

比如一個大階梯教室里，男女分散而坐。這是實空間，反映出每個學生的狀態：性別（男，女），聽課狀態（認真聽，神遊，睡覺）。

如果你想研究一下性別和聽課狀態的關係，你需要遍歷整個教室，太費時間了。

這時，你大腦里出現了一個倒空間，當然了，k值有很多種取法。你為了研究性別，於是把所有學生分為了M,F兩種類型，觀察兩種類型的聽課狀態。有時為了研究需要，你增加了k值，添加了G和L兩種類型。這樣研究起來精度更高了，但也更費時間了。

研究發現，倒空間里F型聽課狀態稍好於M型，對應F型在實空間的分布靠前，這樣，你解釋了為什麼前排學生聽課狀態要好於後排的物理機制。

好了，去寫paper吧，找個三區的刊物試試。

第一次浙大複試，老師就問的這問題，我準備用晶體學愛爾瓦德球解釋，可是錯了，然後我出局了

正格子是的坐標是位置，倒格子的坐標是動量，正格子變化成倒格子是傅立葉變換，恰巧在位置空間變成動量空間也是傅立葉變換，根據倒格子我們可以得出一個重要參量就是波失，從而就有了後面一系列的理論，比如能帶理論里的各種躍遷啊吧啦吧啦吧啦

如果非要用實際意義來說，記得倒格子其實就是晶體點陣的衍射圖像→_→。當然倒格子很有用，但是你沒有理解到那一步看不出來。

因為觀測晶體的時候用x光，投射出來就是倒格子啊