大學物理中微元法的微積分解釋是什麼？

01-05

本人就讀於國內某C9高校，上學期學習了普通物理學上冊，對於其中的微元法存有很大的疑問，始終不能完好地解釋其原理，所以一直不會主動地使用。有一個問題周圍人似乎也糊裡糊塗···
就是：物理當中的微元法，和數學當中的定積分感覺完全不是一回事啊····數學當中的dx，y都有一個y-x圖，從「把積分區間分割求和累加到取極限」都說得很清楚，而且這也是定積分的來源。但是物理中完全是兩個體系啊，比如在一個均勻帶電棒上選取dq，再把dq帶入庫倫公式······再累加——累加就能改成積分號了······
這從數學的角度完全說不通啊，完全是一種思想而已，比如取一小段，但是根本沒有體現出積分區間之類的啊，而且dq是什麼啊，怎麼能把q這個量作為積分變數···（雖然最後沒用它，但是畢竟中間有這麼一步）。真是覺得很怪異的。物理解題中只是大體表示一個思路，這個思路和數學積分之間的關係完全沒有一步一步對應起來啊，感覺好迷茫啊，都不會、也不敢取微元了····

累加累加再累加，最後求和變成積分號了。。

這個過程中，你算了那個積分了么？單單算積分這個過程，有沒有問題？

你的問題是出現在積分的計算上，還是從物理情景中寫下積分表達式上？

蟹腰

題主的疑惑所在，我認為在於實現積分的背景不同，這種疑惑是有道理的，的確是應該注意但是很多人視而不見的。我先把問題明確地表述一下。

高數中的 ∫ydx 形式下，x是一個實數範圍內取值的自變數，y是由某一個映射f將x映射到實數內得到的。但是在帶電物體模型中，q並不代表某個明確的數（如果一維棒情況下還可以理解為從一端到某一點之間的電荷，那麼三維帶電體就完全無法解釋了)，而電荷產生的電場強度，也不是實數。

實際上，做物理的人都在用卻都心照不宣的事情是：推廣實現積分的背景。

首先，要擴大積分的定義域。實際上測度論已經將積分的定義域推廣到任何集合，但是我們要做的，只是推廣到任意n維歐幾里得空間。這件事情相信題主在高數的多重積分中已經學過了。

然後，要重新審視積分的構成要素。 ∫ydx 中，dx不妨稱為"啞標"，它不起任何作用，換成任何字母也無妨，真正起作用的，是積分範圍以及映射。（原則上說還要約定一個積分規則，不過重積分的方法應對物理問題已經完全足夠了）因此並不真正需要一個「自變數」，x的意義，只是指代這是積分範圍內的一個元素。前面說過積分範圍可以是歐幾里得空間，因此元素就是歐幾里得空間中的點。懂得這個，順便就知道為什麼三重積分中可以用dv來取代有點呆傻的dxdydz了。

最後一件事情挺輕鬆的，就是推廣「映射」。無論是向量，矩陣或是張量，對於加法運算都可以分解為實數分量的加法，積分也是一樣。

現在我們總結一下：

所謂積分，就是給定一個n維歐幾里得空間（或其子集）作為積分範圍，存在一個映射，將空間中每一個元素映射到一個實數或向量或矩陣或張量，有了這些條件，就唯一確定一個積分值。給出積分值的原則，遵循重積分的方法。

再看題主的問題：

帶電物體的每一個點，都由三個坐標描述，因此整個帶電範圍是三維歐幾里得空間的子集。映射是將每一個點，映射到這一點的電荷量（帶電體密度）造成的電場強度。dq是「啞標」，僅僅指示帶電體上一點（已經用電荷密度加權），沒有實際意義。

微元法是一種極限的思想吧，用極限的思想來解決問題，物理把數學和物理概念結合起來的，比如你說的均勻帶電棒，帶電量為q,要求它在空間一點的場強，用庫侖定律是不能直接求的，所以把它看做無數小的電荷元，用數學表達就是dq,這樣就可以帶入公式了，最後再積分（也就是帶電棒整體整體）就可以了。

至於你說的積分區間應該是積分上限可以看做q,下限看做0。

教科書中微元法的使用，忽略了這些誤差類加起來也是無窮小的論述，因此屬於沒有認真論證的東西。你問的問題特別好，特別好，我舉個栗子，這個栗子你可以舉一反三的：

由於不會調整圖片方向，你對付看吧！

謝邀。

題主的問題在於沒有理解庫侖公式的適用條件。庫侖公式是討論點電荷的，換句話說電荷的空間分布要無窮小，要是一個幾何點。這本身是一個數學化的抽象模型。

問：一個均勻帶電棒是不是一個幾何點？

答：不是。

因此，不能應用庫侖定律。那該怎麼辦？別忘了電場是滿足疊加原理的，既然棒子總帶電量為q，那麼就意味著如果分割成N份，每一份帶電量就是q/N，但是每一份在空間上是多大呢？假設棒子長度為L，那每一份空間長度是L/N，不過這仍然不是幾何點，所以，很遺憾，庫侖公式仍然不能用。

但是！！當N趨於無窮大的時候，L/N就趨於零了，就趨於幾何點了，這時候庫侖公式就可以用了。同時要考慮：q/N在當N趨於無窮大的時候是多大？當然是無窮小了，微積分裡面用「dq」這個符號標記這個無窮小而已。至於積分區間嘛，應該取從0積分到q，整個積分的意思是：從沒有電量開始一直對不同的小dq求和，一直求和到電量到q了為止就不再求和了，這個對無窮小的無窮多次求和就是積分。

說了半天，除了庫侖定律的適用範圍之外，全是微積分的基本概念。別忘了最開始牛頓搞微積分的時候出發點完全是實際的物理問題，微積分和物理的聯繫簡直不能再緊密了，別在這方面說數學和物理脫節這樣的蠢話了。

不過我大一的時候學的也不好，別著急，隨著學習深入，慢慢就理解了。