有哪些答案很簡單而過程十分複雜的問題？

01-05

很多問題都是答案簡單，且有一個最簡的解法，而它的反例多嗎？

有一個定理，雖然論簡單優雅，只能算排進個前五十，但論證明過程最複雜絕對當之無愧：

有限單群分類定理：每個有限簡單群都會是下列每類型的其中一種：

- 質數階循環群

- 至少5階的交替群

- 典型群

- 例外或纏繞李群

- 26個散在群

為了完成這個證明，數學家們前前後後花了將近一百年的時間，發了幾千篇paper，寫了數萬頁的證明才完成，而且早期的一些證明來自什麼語言的都有，到現在還有一大批法文文獻。

目前還剩下幾個老頭子正在努力在有生之年完成一個簡化版的二代證明，預計至少也要幾千頁。幾個老數學家都表示情況不樂觀，而且要是他們死前沒填完坑，對一代證明能完整了解的人基本上就不存在了，這幾萬頁的證明也就事實上失傳了。

2 維以下隨機遊走常返，3 維以上隨機遊走不常返。

我記得學隨機過程的時候，為了證明這個結論，引入了 n 多概念，不記得是不是一節課講完的了……

熵增原理

熵增原理很簡單：孤立系統的熵永不減少。但是過程很複雜。

大學課本里一般用的是克勞修斯的推導過程，由第二定律證明卡諾定理然後構造可逆循環，最後整個路徑積分下來，得到一個全微分式。這個全微分對應著一個狀態函數，就是熵。屬於本科熱力學中比較複雜的過程，但是還可以。這個過程是本質上一個唯像理論，並未深入本質。

這貨一到了統計力學中，就很複雜了。歷史上最早是從H定理引出來的。H函數具有不減性，因而對應了熵增。H定理的推導過程很繁瑣，並且本身也有很大的問題。為此有長達半個多世紀的爭論，玻爾茲曼因此自殺。直到今天，類似初態反演悖論的很多種詰難仍然不能算圓滿解決。

量子力學建立以後，它變本加厲。幺正演化是不可能推出熵增的，因而熵增過程和臭名昭著的測量問題一體兩面。而對測量問題，各種著名的詮釋不下十種，直至今天仍然絕大多數科學家持有「閉嘴計算」的態度。

現在仍然有並存著各種不同的熵的定義，包括玻爾茲曼有兩種定義，吉布斯的粗粒熵和細粒熵，馮諾依曼熵等等。它還和資訊理論（香農熵）以及複雜性理論（K熵）關係密切。

根本的困難在於，熵的不減性和動力學時間反演對稱性無法相容。

這個應該很多人知道...

開普勒猜想 Kepler Conjecture

結論是一堆球最節省空間的堆法是面心立方/六方長這樣（來自維基百科）：

結果從17世紀開始一直到1998年才被證出來，而且用的還是窮舉法...(?ω?)

感受一下這個120頁的數學暴力證明的目錄，paper在這裡：

http://annals.math.princeton.edu/wp-content/uploads/annals-v162-n3-p01.pdf

好像很有趣的樣子呢（。

其實符合這個問題的答案數學問題會多於物理問題畢竟物理學家並不在意這些細節（。他們比起數學家更擅長從答案反推回去七拼八湊近似大法來找解答微笑

曾經在經典力學課程上，學到了以下結論：

將排列在一條直線上的質點系視為剛體，其主轉動慣量為： $I=frac{1}{M}cdotsum_{a>b}{m_{a}m_{b}l_{ab}^2}$ 。

題面直截了當，答案也很簡單。相比於剛體運動這一塊的其他問題，這算是很溫和的一個結論了。

我的任務是推導（倒）它……

一開始，推導（倒）的程序是很清晰的：先設所有質點所在直線為 $z$ 軸（以下用 $x_{3}$ 表示此軸坐標），顯然此軸上的主轉動慣量為 $0$ 。而質心坐標為 $Z_{ ext{centre}}=frac{sum_{a}{m_{a}x_{a3}}}{sum_{a}{m_{a}}}=frac{sum_{a}{m_{a}x_{a3}}}{M}$ 。然後求各質點相對於質心的距離為 $x_{b3}-Z_{ ext{centre}}=x_{b3}-frac{sum_{a}{m_{a}x_{a3}}}{M}=frac{1}{M}cdotleft( Mx_{b3}-sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)$ 。

接下來，就是見證複雜的過程了……

依轉動慣量的定義， $I=sum_{b}{m_{b}left( x_{b3}-Z_{ ext{centre}} ight)^{2}}=frac{1}{M^{2}}cdotsum_{b}{m_{b}left(Mx_{b3}-sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)^{2}}$

$=frac{1}{M^{2}}cdotsum_{b}{m_{b}left[M^{2}x_{b3}^{2}-2Mx_{b3}sum_{a}{m_{a}x_{a3}}+left( sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)^{2} ight]}$

$=sum_{b}{m_{b}x_{b3}^{2}}-frac{2}{M}left( sum_{b}{m_{b}x_{b3}} ight)left( sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)+frac{1}{M}left( sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)^{2}$

$=sum_{b}{m_{b}x_{b3}^{2}}-frac{1}{M}left( sum_{a}{m_{a}x_{a3}} ight)^{2} _{dots}$ 到這裡還只是常規套路，然後就進入了考驗你微操（指標運算技巧）水平的部分……

$_{dots}=frac{1}{M}left[ left( sum_{b}{m_{b}^{2}x_{b3}^{2}}+sum_{a e b}{m_{a}m_{b}x_{b3}^{2}} ight)-left( sum_{a}{m_{a}^{2}x_{a3}^{2}}+sum_{a e b}{m_{a}m_{b}x_{a3}x_{b3}} ight) ight]$

$=frac{1}{M}left[sum_{a e b}{m_{a}m_{b}x_{b3}^{2}} - sum_{a e b}{m_{a}m_{b}x_{a3}x_{b3}} ight]_{dots}$ 至此指標操作進入一波小gc——

將括弧內的求和分為 $a>b$ 和 $a<b$ 兩部分，同時對 $a<b$ 部分交換指標 $a,b$ :

$_{dots}=frac{1}{M}left[ sum_{a>b}{m_{a}m_{b}x_{b3}^{2}}-sum_{a>b}{m_{a}m_{b}x_{a3}x_{b3}}<br /> ight]+$ $frac{1}{M}left[ sum_{a<b}{m_{a}m_{b}x_{b3}^{2}}-sum_{a<b}{m_{a}m_{b}x_{a3}x_{b3}} ight]$

$=frac{1}{M} sum_{a>b}{m_{a}m_{b}x_{b3}left( x_{b3}-x_{a3}<br /> ight)}+frac{1}{M} sum_{a>b}{m_{a}m_{b}x_{a3}left( x_{a3}-x_{b3}<br /> ight)}$

$=frac{1}{M} sum_{a>b}{m_{a}m_{b}left( x_{b3}-x_{a3}<br /> ight)^{2}}=frac{1}{M} sum_{a>b}{m_{a}m_{b}l_{ab}^{2}}$ 。

當年算得我真是要原～地～爆～炸BOOM#$%^%^(*((*)*)(！！！……

現在回想起來，在本科階段「純初等」的演算中，似乎已經沒有比這還要再複雜的記憶了。。

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（以下來自評論區）

@靈劍
直接設質心為原點不好嗎，得到一個和為0的等式，取平方，把交叉項移到右側變成負號，補上平方項將每一項都湊成差的平方，左邊剛好能提出一個總質量的公因子，除過去立得。

這個解法比我的要簡單，但技巧性要更強些；然而終歸無法迴避微操（指標運算），只能說剛體這塊兒的難度是客觀存在的。。。

於是今天中午我選擇吃了泡麵

費馬大定理（FLT）算不算？

拓撲里一堆這樣的定理……

Jordan曲線定理：平面上的閉曲線把平面分成兩個部分－－內部和外部。

（這個定理乍看很傻，但要知道當年喬丹自己給的證明是錯的……它還有高維的版本。）

Brower不動點定理：圓盤到自己的連續映射有不動點。

通俗化即「地圖定理」：一張北京地圖鋪在（疊起來鋪也行）北京的地面上，圖上定有一點就落在它指示的地方。

毛球定理：球面上的連續向量場有奇點。

通俗化即一個毛絨球必然有旋（或者立著的一撮）。

（容易想像一個毛絨甜甜圈可以無旋，一個長毛的半球面也可以無旋－－大背頭。）

－－－更－－－

Euler 示性數

一個多面體（由一些頂點、邊（棱）和面組成，要求邊和邊只在頂點相接，每條邊都恰好和兩個面相鄰）有

1-(V+F-E)/2

個洞（恕我沒用LaTeX），其中V是頂點數，F是面數，E是棱數。

對沒洞的簡單多面體，可以在 Armstrong 的序言里找到一個漂亮的證明。（我記得教改前，大約十多年前的高中數學課本里也會介紹這個。）

－－－來點別的－－－

分析里的 Banach 不動點定理：設 f 是 [0,1] 到 [0,1] 的壓縮映射，即存在一個常數 a, 0&<=a&<1,

|f(x)-f(y)|&<=a|x-y|,

那麼 f 有不動點。

Smale 翻球：把球面的內表面光滑地（可以自交，但不能有尖）翻成外表面。

Banach-Tarski 佯謬：把一個球體分成有限塊，適當平移旋轉得到兩個每個與原先都一樣大的球體。

（這個問題看上去似乎也不是很簡單，跑題了……）

各種圖論和離散（組合）幾何問題：Ramsay 交友、郵路、密堆積等等。

一般來說，除了人為刻意設置的將很多個小問題組成一個大問題並仔細調整參數使最後結果看起來很簡單的練習題之外，實際上遇到的最多的就是，存在一個簡單的答案就暗示了存在一個很簡單的過程【思路】。。

這樣的例子太多了，我自己已經見怪不怪了。。

所以，我更傾向於認為，如果我遇到了一個答案很簡單而過程十分複雜的問題，那一定是我自己學藝不精。。

Knaays 已經提到 E = mc^2.

2. 橢圓

（畫圓的時候，以一點為圓心，定長為半徑，旋轉一周）

畫橢圓的時候，以兩點為焦點，兩點和橢圓邊上任一一點的連線之和為定長（F1P+F2P），繞行一周。

還有好多畫橢圓的方法：

參數方程：

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/57/Parametric_ellipse.gif/200px-Parametric_ellipse.gif

內旋輪線：

圓錐截面：

3. 最速下降曲線

在不考慮摩擦的情況下，小球沿著一個曲線（曲面橫截）的「最速下降曲線」是擺線。這個結論的證明是通過泛函的方法得到的：

由圓上固定一點滾動產生的擺線：

4. 費馬大定理（費馬最後的定理）1637年提出，1995年徹底證明

定理內容：

當整數 $n>2$ 時， $x^n+y^n=z^n$ 不存在正整數解.

費馬大定理的證明其實涉及好幾個近代數學的重要分支，包括代數數論中的橢圓曲線和模形式，以及群論中的迦羅瓦理論。

花絮：1908年，德國佛爾夫斯克曾宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內，第一個證明該定理的人，吸引了不少人嘗試並遞交他們的「證明」。然而直到87年後，即1995年，英國人安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）才徹底完成證明。（第一次世界大戰後，馬克瘋狂貶值，10萬馬克在1918後已經沒有任何吸引力）

5. Wilk"s Theorem 似然比檢驗(Likelihood Ratio Test)的基礎定理:

在H1下的似然函數和在H0下的似然函數比值的-2倍自然對數符合Chi-Square分布，其自由度是H1和H0中自由度的差值：

$-2 ext{log}(Lambda)simchi^2(n)$

證明過程： http://www.math.umd.edu/~slud/s701.S14/WilksThm.pdf

此定理有很多推論，比如Neyman–Pearson lemma, 在統計意義上的檢驗中有重要應用。

在數學中這種問題隨處可見啊。未被證明的問題都叫做猜想，各種猜想的答案都是「成立」或者「不成立」，也就是要麼真要麼假，多簡單啊。但證明過程呢？可以困難複雜得沒有邊，甚至是不可能證明。例如，數學中最重要的猜想之一 —— 黎曼猜想。答案就是「zeta函數全部非平凡零點都在臨界線上」或者「不全部在臨界線上」，即「全部在」和「不全部在」的一字之差，但現在將近兩百年過去了，還沒有人能對其證明，甚至這個問題能不能被證明也沒人知道。數學中類似的情況太多了。

很多最簡解法是因為無數前人發明了各種學科、各種符號，拓展了人類的世界觀，才讓多年後的你看起來覺得如此簡單的。比如說古埃及人寫分數只會寫分子為1的分數，於是隨便一個什麼分數拆解起來巨複雜。9除以10，以你現在的知識，你會寫0.9或9/10，但如果你只會寫「1/3+1/4+1/5+1/12+1/30」，還簡單嗎？

如何將不同屏幕尺寸的智能手機安裝到頭戴裝置上實現3D立體效果？

在2012年的時候，我購買了人生的第一台智能手機，青橙M1。把我的諾基亞E72掛在58上，賣了1200塊。

這款手機具有3.5英寸超大屏幕，看小電影非常爽。（在當時

作為一個24k純金屌絲，我不滿足於單純的2維圖像。我要擼3維。

於是乎，我購買了紅藍3D眼鏡，試著在這台3.5英寸手機上獲得3D效果。

擼了幾次之後，覺得實在是有些頭暈眼花體力不支。

2013年初（作為對比，google cardboard首次公開是2014年7月5日），因為工作的關係，在實驗室獲得兩枚焦距為10cm的放大鏡片。將其置於手機屏幕上方一定距離，並且在手機上播放左右格式的3D影像，能夠獲得3D立體觀感。而後來，我的手機也換成了小米2s，具有4.3寸的超大屏幕。

於是，我建立了手機3D立體眼鏡群。和大家交流在手機上看3d立體影像的方法和心得。

那時候，沒有所謂的虛擬現實的概念。這個概念作為一個舶來詞，是2014年56月份，因為Oculus被巨額美金收購，才傳到中國的。至今，我的群還是叫做手機3d立體眼鏡交流群。而不是什麼vr或者虛擬現實群。

在這之後，隨著各種大屏幕手機的發布，我的換機頻率也有點高。我又購買了華為榮耀U9508。

它具有破天荒的4.5寸超大屏幕，以及720p的解析度，在同期可謂是頂級。在2014年3月左右，也正是3D列印技術超級火爆的時候，我為我的手機們設計了專用的手機3d立體眼鏡架子。

比如，這個是給iPhone4用的。使用時將iPhone4直接卡進去就行。列印出來是這個樣子：

另外，我也按照小米2s的尺寸列印了一個同種結構的，並屁顛屁顛的跑到交大找人測試：

可是iPhone4屏幕小啊，效果不好。於是我又給我的榮耀9508設計了一個：

列印出來是這樣的：

瞧這粗壯的卡爪設計。一看就是傻大黑粗的代表產品。

從這樣的設計開始，我就在淘寶上為大家3d列印各種尺寸的手機3d立體眼鏡。由於3d列印成本很高，所以這種眼鏡售價也很高。

那時候，一個這種「破眼鏡」，要199元！但是價格貴是有道理的：

因為我每天只能做1台！！！！光是列印的時間，就要12個小時。

後來，隨著訂單量的增加，我實在是有些力不從心了。

於是乎，我開始思考：我能不能做一款能夠適應各種手機的3D眼鏡呢？

於是我開始嘗試各種設計：

這個設計的思路很簡單，就是把原本那些固定的粗壯的卡爪，變成活動的。然後客人給出他們手機的尺寸之後，我再用膠水將卡爪與眼鏡主體按照尺寸粘牢就好了。爆炸一下，如下圖，方便理解：

這樣我就可以預先列印了。先把零件列印好，然後按照客戶的尺寸粘牢就好。

在之後的客戶反饋中，我發現一個問題，就是這樣的設計漏光。

於是乎，我就想啊想啊，就有了另外一個設計：

這個設計的靈感來自鱷魚張嘴。主體上下各有一塊活動的彈性的板，能夠夾住手機。

設計出來這個之後，我還洋洋自得地申請了專利：

可問題是，3d列印並不能很好地起到彈性、卡扣等作用，而我暫時又不準備開模。

所以，我又開始思考新的設計：

不行，不夠簡單！再想！

不行！不夠簡單！再想！

咦，這個貌似很簡單。

再簡單設計一下：

再開個模，注個塑：

等燈等燈，趕緊去展會展示，開賣（2014年）：

美女展示：

這種設計，非常簡單，但是對手機大小具有非常好的適應性。

現在市場上有很多vr眼鏡都是這樣的設計了。

現在看來，這種設計，才是最適合手機3d立體眼鏡的。

不過，值得一提的是，這種設計我方申請了專利：

有意思的是，有很多公司使用了我們的設計之後，還複製了我們的專利。比如小米公司就申請了一個發明專利：

另外，我還想說的是，現在的vr眼鏡，都是我們2014年的技術。落後太多了。而vr眼鏡有非常多非常好的技術還未應用，請大家期待新技術吧。

我設計的手機3d立體眼鏡的購買地址，知友點贊享5折：

GLASOO手機3D立體眼鏡OCULUS DK2 GEAR VR暴風魔鏡之父虛擬現實

答錯了，我以為題目很簡單但是過程很複雜。不過某種意義上來說，一個混沌系統，做出MD這種非常漂亮的方法，也是簡單吧。

典型的案例：many body problem。把高中物理里的那個萬有引力作用下地球與月球是如何運動（已知所有質量，所有運動初速度和所有初位置。描述運動軌跡）的推廣到太陽，地球，月亮構造的三體問題，乃至是一粒塵埃，太陽，地球構成的問題。

這個問題是天體力學的基本模型。其實也是分子動力學（molecular dynamics）的一個基本模型。

現在已經知道這個問題無法「解析」求解。但是有幾個非常特殊的情況被精確求解。最早是牛頓時代就有人在研究，但毫無結果。後來在瑞典國王過生日的時候這個問題被做成一個競賽。法國大數學家龐加萊發明了一個特殊情況（就是我說的有一個是塵埃，限制性三體問題），然後搞出了混沌理論和微分方程定性理論。

雖然這個問題（many-body problem）是無法精確求解的。但是我們可以去model它。把它模擬出來。最典型的方法之一是用分子動力學。另一個是著名的蒙特卡羅模擬。其次採用一些量子力學的量子模擬也是可以做出來的。當然有一些現代方法，比如我校大物理學家David Ceperley教授（我曾經聽過他的講座）發明了一種叫quantum monte carlo的方法，可以比較精確的模擬出many body problem下粒子的運動軌跡。

可以模擬到什麼程度呢。發一張圖吧。代碼也是我自己寫的python。

黑線是實際軌道。紅線是模擬結果。用很簡單的MD做出來的。

不用跟我扯科幻了，我從不看任何科幻小說。三體的小說從未看過。

或許過程也不算很複雜吧。其實難點在於思路。過程中並沒有太多高深知識的，只要是學過一點點微積分的都能看懂。

布豐拋針問題

在一平面上有無數條平行線，相鄰兩條的間距均為a。現在從足夠高的高度瞎jb拋擲一枚長度為L且質地均勻的針（針可看成線段，粗細不計，且L&<α）求針與平行線相交的概率。

提供一種解題思路：

首先這枚針是否與線相交，影響因素有兩個。針和離它最近的線之間的距離，以及針與線夾的角度。如果我們任意取針上的一點P，可以發現，隨著針和線夾的角度的改變，P點的位置也在不斷的動來動去。這就不好辦了。有沒有一點P，不隨這個角度的改變而改變？當然有，它的重心位置。由於它是一根質地均勻的針，重心自然是在最中央。令這一點為P。

P到離針最近的線之間的距離取值範圍在0到a/2之間。

上圖模擬了兩根相鄰線之間的情形，以便我之後的講解。現在來解決角度問題，我們令針（紫線）和平行線（黑線）之間的角為α。我們發現，不管這根針怎麼轉，只要P點到離針最近的線之間的距離小於sinα（L/2）就會相交。（這個比較難描述，自己想想為什麼吧，也挺簡單的）我們記P到離針最近的線之間的距離為D，則得到不等式D≤sinα（L/2）時相交。這個不等式是解決布豐問題的關鍵。

上面已經確定了D的取值範圍，而顯而易見，α∈(0,π）。於是可以繪製如下圖。

（由於技術性問題，沒能把相關數字標記在圖上，解釋一下。上圖中縱坐標是D，橫坐標是α，圖中的曲線為D＝sinα（L/2）函數圖像，與x軸交於0、π兩點。）

D≤sinα（L/2），也就是說，在這條曲線以下的部分都是可以相交的情況。現在再來回顧一下取值範圍。α∈(0,π），D∈(0,a/2）。現在就可以用面積比代替概率了。

P＝(∫(0,π）D dα) / (πa/2)＝2L／πa

（註：由於技術性原因，用∫(0,π）來表示0到π的積分。）

也就是說，相交的概率為2L／πa。（可以回到開頭再把題目看一遍，以防忘記了在求什麼233）

特別的，若知道a、L的值，可以估算圓周率π，例如，取a＝1，L＝1/2，即得P＝1/π。通過足夠多次的實驗，用頻率近似得到概率，即為估算的圓周率值的倒數。

概率統計上似乎把這種解決問題的方法叫幾何概型？（我也記不清了，說錯瞭望指正，謝謝）

其實難點在於能夠想到那個不等式，至於知識，只是特別簡單的積分等等，沒有很複雜，算是強答了。（不過答案倒是夠簡單了）

@qfzklm我說一下我提問的初衷吧

本來我是想到一個物理問題，就是求光滑的四分之一圓弧面上，質點從A到B所經時間

之前沒想過，突然想到，之前從沒進行過這個模型的時間計算。

但經過多種途徑探索，最後也問了老師查了資料，發現這個看似十分簡單的模型並沒有初等函數的簡單解法，而結論也並不簡單，於是突發奇想提出的問題，所以我想有時候一個問題看上去固然簡單而過程是很複雜的，所以說學藝不精也確有其道理。

過程可能不是那麼複雜但有點出乎意料地漫長。。。

現在我們用的U型水管，就是存一點水防止臭氣上來的東東，看著簡單吧，但是從這東西的需求到最後出現用了很多年，這些年涵蓋了牛頓的一生

從一本國外的歷史書看的，如果不正確請在評論區告訴我

記得小學的時候，數學計算題，只有乘除法。會有一個長達三四行的式子，其中不乏有各種開根和分數等等當時還沒接觸的內容……最後有一個 *0

E=mcˇ2

將拉普拉斯方程在直角坐標系下轉換成球坐標的表達式。一階導數用的方嚮導數和一點幾何的想法容易得到，可以避免反解。求二階的時候只是在重複第一步，但是複雜太多了。

算的難受。。雖然結果很簡潔