如何理解高階無窮小這種概念？

01-05

今天我們來確切定義一下啥叫「無窮小」 (infinitesimal)。這個內容不會出現在入門的分析書上，但是想法倒是一路子。

我們把無窮小記為 $varepsilon$ ,它應該有什麼性質？我們想要的性質就是：

(*) 對於任何實數 $r>0$ ，都有 $0<|varepsilon|<r$ . 注意這裡是 &<，不是 $le$ 。當然，沒有任何實數滿足這個條件。所以，無窮小不存在於實數當中。但是，你是不是覺得 (1/n) 這個數列可以作為無窮小，或者 $(1/2^n)$ 這個數列也是一個無窮小？如果你把它當成實數的完備化中的元素，那麼它們就是0。但是，我們換一種思維，就把它們當成 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ (可數個R相乘，按照正整數作指標，就是實數列的集合) 中的元素可以吧。

好，問題來了，原來R是一個域，現在我自然也想把 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 弄成一個域。加法自然不必說，但是乘法怎麼定義？兩種方案。 方案一：把 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 看成 formal power series 的集合，即把 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 中元素寫成 $a_0+a_1x+a_2x^2+cdots$ ，乘法按照 formal power series 的乘法。看起來不錯，至少這是一個integral domain。如果你想得到一個field，只需要 invert x即可，得到的不就是 $mathbf{R}((x))$ 嘛！(Field of formal Laurent series)。而且，你可以在上面定義一個total order：A power series is &>0 if and only if its leading coefficient is &>0。你可以驕傲地發現，那些leading term 的指標為正的power series (形如 $a_1x+a_2x^2+a_3x^3+cdots$ 的那些元素) 的確滿足性質(*)，它們可以被叫做無窮小。但是，問題出現了！在 R上，你可以定義 $t^{1/3}$ 這個連續函數，但是這個函數怎樣拓展到 $mathbf{R}((x))$ 上？你必須有考慮 $x^{1/3}$ 這樣的元素，而它又不在 $mathbf{R}((x))$ 之內，所以R((x))不夠好。要再加入類似 $x^alpha$ 的元素（ $alpha$ 不為整數），就使得問題變得非常複雜。而且，之後，我還可以問，怎樣把其它的 R上的連續函數也加進來？這簡直令人受不了。結論：必須放棄方案一。（是不是一種一群草泥馬在腦海中奔過的感覺~~~）

方案二：就把 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 當場數列的集合，and define the sum and product componentwise，就是環的直積。但是，這樣的話 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 連個整環都不是！怎麼辦？！先別急。我們先定義一個total order。考慮兩個數列 x=(x_n), y=(y_n)。定義 $E(x<y)= {nin mathbf{N}: x_n<y_n}$ ，就是x_n&大，我們樂意去說 x&我們就得要定義，什麼集合叫大。首先如果x&應該有 x&但是 E(x&。所以大這個性質應該滿足下面的條件:

(1) If E_1 and E_2 are large, so is $E_1cap E_2$ 。

其二，則應該是理所當然的要求：

(2) If E is large and $Esubset F$ , then F is large.

第三，假設 $x_n eq y_n$ for all n, 那麼 E(x&)

如果我想弄個total order, E(x&應該是：

(3) For any $E subset mathbf{N}$ , exactly one of E, $E^c$ (the complement) is large.

定義：A ultrafilter of N is a collection of subsets of N (called large subsets) which satisfy (1), (2), (3).

構造 ultrafilter 的方法有很多種，最簡單的一種，我隨便拿出一個fixed element i of N，and

declare that E is large if and only if $iin E$ 。（這個叫principal ultrafilter）但是如果你這樣定義, 那麼當你比較兩個數列x, y時，你本質上是在比較 x_i 和 y_i 的大小，其它的部分都被忽略了。這個也不好。所以我們關注的是 non-principal ultrafilter。但是問題來了：你能不能找到一個non-principal ultrafilter呢？是的， Zorn"s lemma 保證了 non-principal ultrafilter 的存在性。(Exercise 2) 但是，如你所見，想把它明確寫出來，的確太困難了。

Exercise 1: If $mathcal{F}$ is a non-principal ultrafilter of N, and E is a cofinite subset of N (meaning that $mathbf{N}-E$ is finite), then E is a member of $mathcal{F}$ .

現在一切就緒了。我們 fix a non-principal ultrafilter $mathcal{F}$ of N. We define an equivalence relation on $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ by saying that x~y if $E(x=y):={nin mathbf{N}: x_n=y_n}$ is a member of $mathcal{F}$ . 你知不知道這個 ~ 定義了 $mathbf{R}^{mathbf{N}}$ 上的一個maximal ideal (就是那些和(0,0,0,0,...)等價的元素集合) ! Then we take the quotient ${}^* mathbf{R}=$ $mathbf{R}^{mathbf{N}}/sim$ . 忽然之間，電閃雷鳴，——這個 ${}^* mathbf{R}$ 就變成了一個field !而且它包含 R 作為其subfield (by identifying $rin mathbf{R}$ with the image of the sequence $(r,r,r,cdots)$ )。不僅如此，它還有一個total order: x&! 而且它裡面它裡面真的有無窮小 (infinitesimal)！你不信，看看元素 x=(1/n)，它的確比0大 (因為它每項都是正的)；但又比任何正實數r小，因為當n很大時，1/n &中的元素 (參見 Exercise 1 above)。而且無窮小之間還是可以比大小的！比如 (1/n) &> (1/n^2) 等等。不僅有無窮小，而且有無窮大，比如 x=(n)這個元素。而且R上的連續函數可以非常自然地拓展到 ${}^* mathbf{R}$ 上：如果f: R -&> R，just define f: *R -&> *R by $(x_1,x_2,cdots,)mapsto (f(x_1),f(x_2),cdots)$ 而且還可以在上面作微分！而且那個dx真的就變成了無窮小，貨真價實的無窮小，你再也不需要用到 $lim_{h o 0}$ 這樣噁心的東西了（你用到的時shadow and halo，我就不展開講了）！！哎喲，不行了，太爽了，要iku iku了……

好了，不賣關子了，上述構造的 *R 有個專門的名字：the field of hyperreals。它是一個real closed field。大致說來，任何 first-order language 在R上為真的話，在*R上也是真的。上面說的就是任何一本關於 non-standard analysis 的書的前幾章的內容。

最後，有的同學肯定要問，你在構造 *R的時候，曾經首先 fixed an ultrafilter $mathcal{F}$ , what if we choose another non-principal ultrafilter? Does this alter the structure of *R? Answer: Assuming the continuum hypothesis, the non-principal ultrafilter you start with does not matter.

對於初學者，我一向都是舉這幾個例子。

一條直線上的點的數量是無窮多個，記為n。

兩條直線上的點的數量也是無窮多個，記為m。

一個平面上的點的數量也是無窮多個，記為l。

有以下幾個結論：

l&>&>m

l &>&>n

m~n

所以l就是m和n的高階無窮大。

在以上空間任選某點選中任意點的概率就是1/n,1/m,1/l，其中1/l就是1/n,1/m的高階無窮小。

另外再介紹一個無窮旅館問題。

假設一個旅館有無窮個房間，記為n，但是已經住滿。

這時候又來了一個住客。於是老闆安排他住到1號房去，而原來1號房的搬到2號房，2號房的搬到3號房，以此類推，n號房的搬到n+1。

假設這時候又來了無窮多個住客m，於是老闆安排原來住1號房的搬到2號，2號的搬到4號，3號的搬到6號，這時候就又多出來無窮多個房間供住客住。

值得注意的是，m必須是n的同階無窮大，否則上述安排是不夠他們住的。

高階無窮小就是在除以一個低階無窮小後，仍然是無窮小，因此可以丟掉

當然這必須在極限時討論才有意義。

高階無窮小是一個比較，即在兩個無窮小之間的比較一個相對於另一個是高階。

那麼什麼是高階呢，無窮小都趨向於零，一個無窮小比另一個趨向於0的速度更快，那就是高階無窮小。

看別人這麼理解過，我記不清了，大概是這麼個意思。

教科書對無窮小量的定義難以理解的原因是,他們把無窮小量看成是在一維里有值的數,這和現有的邏輯有矛盾,因為論多麼小的數,經無限次相加必須結果會是一個無限大的數.而且把對這種定義的檢驗建立在無限次的操作上,這種操作是不可能完全實現的.

應該把無窮小量理解為「較低維的數」.所謂的低維,舉個例子,比如一個邊長為8的正方形,它的面積為64,這裡的邊長8就是相對於面積64來說是較低維的數,它有值,是8;但它的值在面積上看來是為0的.也就是說邊長相對於面積來說是沒有值的,但它自身有值.

這樣就可以把無窮小量定義為:點值為變數,線值為0的量.這種定義是很明確清晰的,沒有教科書定義的那種模糊不清的問題.

無窮小首先是一個函數，為什麼沒有人提起這件事？？？？？

較低階稍微小一下，高階小就小的不要不要的……

反映了不同的無窮小趨於零的快慢程度

假設a、b都是lim的無窮小，如果lim b/a=0，就說b是比a高階的無窮小，記作b=o（a）註：o讀作奧密克戎，希臘字母