有沒有處處不可導的凸函數？

教材上看到凸函數的充分條件，均要在可導的前提下才可以使用。

那處處不可導的函數中，有沒有具有凸性的函數？

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首先，最簡單的一元凸函數是定義在開區間上的，我就以這種情況為例進行分析。

先說結論：不存在處處不可導的凸函數

證明簡要思路：

1. 證明：在任意處，凸函數的左導數和右導數都存在，並且。
2. 證明：對於任意，都有。

3. 證明：如果存在一點，使得，那麼開區間內不含有函數和的值。

4. 證明：設有若干點使得在該點處左右導數不相等（也即導致不可導），那麼這些點所確定的開區間（指第三步中提出的那種開區間）彼此不相交。

5. 證明：使不可導的點的集合是至多可數集，因此必然有無窮個可導的點。

PS：實際上，我們證明了，不僅不存在處處不可導的凸函數，而且任意凸函數都在定義域上可導或者幾乎處處可導。

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歐氏空間中的凸函數的定義如下：

定理1：如果函數是凸的，那麼是局部Lipschitz的。【證明參見：Measure theory and fine properties of functions, L. C. Evans and R. F. Gariepy., 第236頁定理1】

根據Rademacher定理, Lipschitz函數幾乎處處可導。（你可以理解為，函數在除了一些「小」集合以外的其它地方都可以求導。）所以不存在處處不可導的凸函數。

其實凸函數還有一個更加強性質：

定理2：（Alexandrov theorem）如果函數是凸的，那麼是幾乎處處可求二次導函數的。【證明參見：Measure theory and fine properties of functions, L. C. Evans and R. F. Gariepy, 第242頁定理1】

對於定理1在一維的情形，我給一個不嚴格幾何直觀：考慮，根據凸性（真的）不難驗證點在連接直線的上方，並且在連接直線的下方。此時如果讓趨近於，它只能在一個角型區域內（頂點為並且夾在兩條直線中）。所以重複類似的方法（交換再次進行討論），我們得到了局部Lipschitz連續性。

============2015年6月21日17:41:34===========

評論有人說看不懂，我就為最後一段配了一張圖（其中橙色部分為可能的區域）：

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記得在實變函數教材上有:在R^n上，凸函數幾乎處處二次可導且二階導幾乎處處大於零

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上面的都錯了。的確是存在處處不連續的線性函數的，只不過要在無窮維空間上。

參考書目：《Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces》

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