各個學科內都有哪些「很美」的公式或者結論？它們是大自然的鬼斧神工還是人類的匠心獨造？

01-06

想要請各個學科的人來介紹自己認為自己學科中最美的公式或者結論，無論是從對稱性還是其揭示的內涵方面。比如（私以為）電磁學中的麥克斯韋方程組，物理學中質能轉換公式等，才疏學淺知道的理論不多，還希望大家能多賜教。

Central limit theorem：

上帝是不擲篩子，也不打德州撲克：你取一下均值就知道了（笑）Stochastic simulation

Basic rejection sampling

設 $p(x)$ 一任意 probability density function with compact support $[A,B]$ . $p(x)$ 太複雜不知道如何 sample ?

取 $C ge p(x)$ , 做一個矩形把 $p(x)$ 圍起來，在矩形內做uniform sampling，然後只取落在 $p(x)$ 內部的藍色點，最後把藍色點投影到 $[A,B]$ 上：得到的投影點 $sim p(x)$ , 無論 $p(x)$ 多麼複雜。

Beautiful, simple and elegant.

Campbell"s theorem

$mathbb{E}left[ sum_{x in Phi} f(x) ight] = int_{S} f(x) Lambda(dx)$

$Phi$ 為任意一個simple point process, $Lambda(cdot)$ 是它的intensity measure, $f(x)$ measurable.

用來幹嘛？可以Monte Carlo Integration 求積分啊--- &> 設 $Lambda(x) = c, c in S extnormal{ and } Lambda(x) = 0 extnormal{ otherwise}$ . 然後有:

$int_{S} f(x) dx = frac{1}{c} mathbb{E}left[ sum_{x in Phi cap S} f(x) ight]$ ,

sample $n$ 個點，取個均值，直接甩給real analysis 老師。

Beautiful, simple and elegant.

Importance sampling

老師又來出題了： $mathbb{E}_p [f(x)]$

嫌 sample $p(x)$ 太麻煩？好：

$mathbb{E}_p [f(x)] = int_{S} f(x) p(x)dx = int_{S} frac{f(x) p(x)}{q(x)} dx = mathbb{E}_q left[ frac{f(x) p(x)}{q(x)} ight]$

找一個可以簡單 sample 的 $q(x)$ , 再次甩臉。

Beautiful, simple and elegant.

These are what make stochastic simulations powerful and elegant!

$s_u(mob)=0.22sigma_p$

這個公式所表達的是，只要不是有機土壤，不論土壤的礦物組成是什麼，實驗室測試結果怎樣，在施工現場，不排水的抗剪強度（undrained shear strength）大約是有效預固結應力（effective pre-consolidation pressure）的0.22倍。

這個公式是土力學中的基本公式嗎？必然不是。計算流量的公式、計算沉降的公式、計算實驗室條件下抗剪強度的公式……重要的公式比比皆是。但是為什麼我在這裡放了這麼一個公式呢？

因為它以很簡單的形式說明了，在工科領域，很多經驗公式的背後都是工程師們一臉無奈的表情：我們也TM不知道為什麼。

閑來扯扯淡。數論中就有很多有意思的結論，今天來聊聊 $zeta$ 函數。我們知道 $zeta$ 函數可以延拓到全平面，並且對所有正整數 $n$ 都有 $zeta(-2n)=0$ 。然而 $zeta$ 函數在負奇數處的取值卻有著很有意思的算術性質。比如根據 $zeta$ 函數的functional equation可以知道 $zeta(1-4n)$ 是正的， $zeta(3-4n)$ 是負的，並且它們都是有理數。如果我們我們把 $zeta(1-2n)$ 寫成既約分數的形式 $N_n/D_n$ ，於是我們有如下神奇的結論：

1. 素數 $p$ 整除 $D_n$ 當且僅當 $p-1$ 整除 $2n$ 。

2. 如果 $p$ 整除 $D_n$ ，那麼我們有 $ord_p(D_n)=ord_p(2n)+1$ 。

那麼根據這兩個結論那麼我們可以完全了解 $zeta(1-2n)$ 的分母了。不過 $zeta(1-2n)$ 的分子就比較複雜了，比如我們可以簡單的計算前面若干個 $zeta(1-2n)$ 的值， $zeta(-11)=frac{691}{2^3cdot 3^2cdot 5cdot 7cdot 13}, zeta(-31)=frac{37cdot 683cdot 30506527}{2^6cdot 3cdot 5cdot 17}cdots$

顯然分子不會有形如分母這樣好的結論，不過通過大量的計算我們會發現分子會重複出現同樣的素因子：

比如 $zeta(-31),zeta(-67),zeta(-103),cdots$ 的分子都被 $37$ 整除。於是我們可以有如下猜測：

如果素數 $p$ 整除 $N_n$ ，那麼 $p$ 整除 $N_{n+(p-1)m}$ 。

事實上我們有如下更強的kummer"s congruence:

假設 $n_1$ 不是 $p-1$ 的倍數，如果 $n_1equiv n_2pmod{(p-1)p^{n-1}}$ ,那麼我們有 $(1-p^{n_1-1})zeta(1-n_1)equiv(1-p^{n_2-1})zeta(1-n_2)pmod{p^n}$

當然僅憑這個同餘式是不足以描述清楚 $N_n$ 的，事實上關於 $N_n$ ，我們還有很多不知道的信息。不過上面這個同餘式卻開啟了另外一扇大門，一扇從複數的世界通向 $p$ -進世界的大門。根據這個同餘式，我們可以在 $p$ -進世界中定義一個類似於複數世界中的 $zeta$ 函數的東西，就是所謂的 $p$ -進 $zeta$ 函數，這便通往了Iwasawa理論。

我第一次看到這些東西的時候就被震撼到了，數的世界真是太神奇了！

這些是人工的

感覺是 e^(iπ)+1=0啊！

//應評論規範為e^(iπ)

一個等式，包含了兩個經典無理數:自然常數e和圓周率π;具有劃時代意義的虛數單位i;還有1，0兩個自然數。看似毫無關聯的幾個量，被一個簡潔優美的公式連接到了一起，難道不能稱之為美嗎？

笛卡爾與瑞典公主克里斯汀之間表達愛意的

心臟線 r=a(1-sinθ)。

以下是從百科 copy 過來的「傳說中」的愛情故事：

在斯德哥爾摩的街頭，52歲的笛卡爾邂逅了18歲的瑞典公主克里斯汀。

幾天後，他接到通知了國王聘請他做小公主的數學老師的通知。來到皇宮後，他見到了在街頭偶遇的女孩子，從此，他當上了小公主的數學老師。

小公主的數學在笛卡爾的悉心指導下突飛猛進，笛卡爾向她介紹了自己研究的新領域——直角坐標系。每天形影不離的相處使他們彼此產生愛慕之心。

公主的父親國王知道了後勃然大怒，下令將笛卡爾處死，小公主克里斯汀苦苦哀求後，國王將其流放回法國，克里斯汀公主也被父親軟禁起來。笛卡爾回法國後不久便染上重病，他日日給公主寫信，因被國王攔截，克里斯汀一直沒收到笛卡爾的信。

笛卡爾在給克里斯汀寄出第十三封信後，就氣絕身亡了。這第十三封信內容——

只有短短的一個公式：r=a(1-sinθ）

國王看不懂，覺得他們倆之間並不是總是說情話的，將全城的數學家召集到皇宮，但沒有一個人能解開，他不忍心看著心愛的女兒整日悶悶不樂，就把這封信交給了克里斯汀。

公主看到後，立即明了戀人的意圖，她馬上著手把方程的圖形畫出來，看到圖形，她開心極了，她知道戀人仍然愛著她——方程的圖形是一顆心的形狀。

國王死後，克里斯汀登基，立即派人在歐洲四處尋找心上人，無奈斯人已故，先她一步走了，徒留她孤零零在人間。

據說這封享譽世界的另類情書還保存在歐洲笛卡爾的紀念館裡。

以上就是傳說中的愛情故事。

（大概是人們試圖想要對看似有蘊意的東西作出的美好詮釋吧，為了愛與美好還是願意作出邏輯上的讓步的。）

?(﹒??﹒?)??(﹒??﹒?)??(﹒??﹒?)?

52歲與18歲.. 相差34歲，假設他們真的相愛了，那他們大概是屬於不斷學習完善自身之人，因為這個時候學習呢，沒準大概也許就能把鴻溝彌補上擁有一個跨世紀的伴侶了～暮年也能迎來春天～

故事告訴我們 ——

要好好學習、好好看書，才能有情懷、有情調地與愛人一同詩詞歌賦共享美好年華。

醫學狗強答一記，有點文不對題。

中醫裡面有很多方歌，就是把中藥方裡面的所有藥材編成一首順口溜，便於記憶。

我印象最為深刻的是六味地黃丸的方歌：

靈山地黃，牡丹茱萸謝。

（茯苓）（山藥）（地黃）（牡丹皮）（茱萸）（澤瀉）

作為一個西醫狗，當年就上過一個學期的中醫，至今還能完整記得六味地黃丸的方子，這方歌太美了，有點俳句的味道。

西醫裡面似乎沒有發現那麼吊炸天的順口溜了。十二對腦神經勉強算一個吧：

一嗅二視三動眼，

四劃五叉六外展，

七面八聽九舌咽，

迷副舌下十二全。

當年考試全靠這個了。

還有一個心肺復甦ABCDE也不錯：

A：airway 開放氣道

B：breathing 人工呼吸

C：circulation 恢復循環，胸外按壓

D：drug 藥物 Defibrillation 除顫

E：evaluation 評估病情

可惜後來他喵的，心肺復甦順序改成CAB了。。。。。。

細胞與內環境之間、內環境與外界環境之間不斷地進行著物質交換，因此，細胞的代謝活動和外界環境的不斷變化，必然會影響內環境的理化性質，如pH、滲透壓、溫度等。那麼，內環境的理化性質會不會經常發生劇烈的變化呢？

穩態：人體（和生物體）處在能夠忍受的環境中時，總是持續地維持自身內環境條件大體穩定，包括體溫、水分、鹽離子濃度、糖濃度、膠體和晶體滲透壓、pH等。

（酸鹼體質的段子閃開）

原因啊......不能維持相對穩態的生物都在競爭中死光了......

Leibnitz Integral Rule

就是覺得很有意思

斐波那契數列的通項公式。

斐波那契數列：第一和第二項是1，從第三項開始每一項等於前兩項之和

這個數列和黃金分割比有關！

通項公式的中括弧裡面的前一部分就是黃金分割比的n次方

這個數列還有一個奇特的性質：n越大，前一項與後一項的比值越接近黃金分割比

說到生產公式，就服拉馬努金。數學大師埃爾德什常說:「一個數學家就是一台把咖啡轉化為數學定理的機器」，而拉馬努金是不需要咖啡的機器，也沒人知道這機器怎麼運作。他本人則宣稱是在夢中娜瑪卡爾女神給予啟示。

先是入門級的：

3:0

左邊拉馬努金等式，右邊歐拉公式。

裝逼良品，恆大用了都說好。

拉馬努金曾經在寄給哈代的信件中給出過上面公式。這個公式應該不是他第一個給出，在微積分還沒嚴謹的年代，發散級數曾經橫行。阿貝爾說：「發散級數是魔鬼的發明。」

這個級數在知乎也是時常被提起，爭論不休。上式的理解以下幾句就能講清楚，至於合不合理，各位自己判斷，有時天使和魔鬼往往一線之間。

再是正常級的：

一個完美融合了黃金分割，自然對數底e和圓周率π的公式，雖然感覺沒啥卵用，但形式很美。

不像歐拉公式這樣橋樑般的重要公式，一天可能被人們用千萬遍。

最後是變態點的：

鬼知道他在夢裡都經歷了些什麼！

這是一個有著火箭般收斂速度的求π公式，與它相比，常見的萊布尼茨級數的收斂速度就像烏龜爬行，雖然它形式也很美。

拉馬努金和哈代的故事在數學史上為人們津津樂道，帶有傳奇和浪漫主義色彩。

（拉馬努金，Srinivasa Ramanujan，1887-1920）

（哈代（Hardy，Godfrey Harold，1877-1947）有一次，哈代去醫院看生病的拉馬努金，見到拉馬努金說他坐的計程車牌號是1729，是個無聊的數。而拉馬努金當即反應說：這是一個非常有趣的數字，它是能用兩種不同方式表示為兩個正立方數之和的最小的數。

粒子物理標準模型，描述電磁力、強相互作用和弱相互作用。這應該是人類歷史上最精確的理論了。

http://einstein-schrodinger.com/Standard_Model.pdf

當然我們知道它還存在問題。

看到別的答案想起來一個奇怪的式子

$anh(1)=frac{e+frac{1}{e}}{e-frac{1}{e}}=frac{1}{1+frac{1}{3+frac{1}{5+frac{1}{7+frac{1}{9+dots}}}}}$

有機化學：「根據經驗公式……」

它是化學家的血淚和頭髮。

Nature雜誌匿名編輯在Krebs辭世七年後在公開信中指出，拒絕Krebs的文章是Nature雜誌有史以來犯的最大錯誤。

tricarboxylic acid cycle(Krebs cycle)

看到有人答心形曲線，我也想到一個曲線也很美

今天在電腦上畫出來的時候，發現和圖上的還有一點不一樣

說個音樂里的，五度循環圈。

http://zhuanlan.zhihu.com/p/23125945

一個完美的圓。

作為經濟學學生，我提名斯拉茨基方程和替代矩陣的對稱性。

斯拉茨基方程是這樣的：

$frac{partial x_{i}}{partial p_{j}}=frac{partial h_{i}}{partial p_{j}}-x_{j}frac{partial x_{i}}{partial w}$ 。

其中p是價格，w是收入，x是需求，h是效用不變的需求。

這個方程的意思是價格變化時，需求的變化分為兩個部分。第一個部分叫替代效應，第j種商品的價格變化，那麼i和j兩種商品的相對價格變化，因此在保持消費者的效用不變時，要改變對第i種商品的需求。第二個部分叫收入效應，當價格變化時，能購買到的商品的數量變化了，意味著實際收入變化了，因為收入變化了，所以要改變需求。

這個簡單的式子是經濟學的一個基本原理。它把現實中的效應分成了兩個相互獨立的效應，從而便於分析。其實不只是商品消費，很多事情都可以從替代效應和收入效應的角度看。

替代矩陣的對稱性是：

$frac{partial h_{i}}{partial p_{j}}=frac{partial h_{j}}{partial p_{i}}$ 。

這是說商品i價格變化對商品j的替代效應等於商品j價格變化對商品i的替代效應。這個公式的優美之處在於，它並不是直觀能感覺到的，必須通過數學才能推出來。

好像沒有人提到這個： $k=Ae^{-Ea/RT}$

話說這個不止是化學動力學當中的阿倫尼烏斯方程，還可以是統計力學中的玻爾茲曼分布哦。

It is not the strongest of the species that survive, but the one most responsive to change.

物競天擇，適者生存。