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如何證明一個同時以1和π為周期的函數無最小正周期？

01-06

首先不能直接認為這個函數是常函數，因為如函數f(x)=0,如果x∈E(π),f(x)=1,如果x?E(π),E(π)={x|x=m+nπ,m,n∈?}。之後應該如何？

用類似輾轉相除的想法， $a_0 = pi a_1=1 a_2=pi-3$

$a_n=a_{n-2} - ka_{n-1}$ ，其中 $k$ 是使得 $a_n ge 0$ 的最大整數。

數列 ${a_n}$ 顯然滿足：

1. $a_n>0$ （若不然，可推出 $pi$ 是有理數，矛盾）

2. $a_n < a_{n-1}$ （若不然，可以繼續減 $a_{n-1}$ ）

3. $a_{n} < frac{1}{2}a_{n-2}$ （若 $a_{n-1}lefrac{1}{2}a_{n-2}$ ，那麼 $a_n；若<img src=$ ，那麼 $a_n=a_{n-2}-a_{n-1}<frac{1}{2}a_{n-2}$ ）

因此 $lim_{n ightarrow infty}{a_n}=0$ 且 $a_n>0$ 恆成立。

因為數列 ${a_n}$ 的每一項都是該函數的周期，所以不存在最小正周期。

一個函數的周期構成實數域的一個加法子群，而實數域的加法子群只有兩種：1. 形如 &，即同構於 Z；2. 是實數域的一個稠密子集。

根據已知同構於 Z 是不可能了：假設 na=1, ma=pi，顯然 a 有理數，矛盾。所以只能是稠密，即沒有最小正周期。

假設有，設其為P，則①np＝1，②mp＝π。②/①得:m/n＝π

矛盾，假設不成立

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之前想當然認為mn為整數。。。。

證明一下mn均為整數:

假設某周期函數f(x)存在一個周期T，其不能被最小正周期p整除。則T可表示為T＝ap＋q。

即f(x)＝f(x＋ap)＝f(x＋ap＋q)

令X＝x＋ap，則f(X)＝f(X＋q)

這與最小正周期為p矛盾

感謝@lixin liu 的證明

這種題其實都可用Hurwitz"s theorem (number theory)秒殺。

注意 $|pi-frac{m}{n}|<frac{1}{sqrt{5}n^2}$ 有無窮多組解，即 $|npi-m|<frac{1}{sqrt{5}n}$ 有無窮多組解。

注意 $|npi-m|$ 一定是周期，即我們可以構造任意小的正周期。

輾轉相除，但是要求函數是連續的

如果不是連續會有什麼性質我不知道...

考慮集合E={npi的小數部分|n是整數}

E滿足如下性質

1.E在區間(0,1)上稠密（對於任何一個無理數alpha,{nalpha}均在(0,1)上稠密）

2.E的每一個元素alpha均可以表示為p+qpi,其中p,q是整數

由2得E中每個元素均為f的周期（結合2與條件：1與pi均為f的周期得），由1得E沒有最小元，

從而f沒有最小正周期

取 $a_n={npi+1}$ ,也就是 $npi+1$ 的小數部分。因為 $npi+1$ 是一個周期，1也是周期，所以 $a_n$ 也是一個周期。由於 $pi$ 是無理數，所以 ${a_n}$ 里所有元素都不相同（否則很容易推出 $pi$ 是有理數）。

${a_n}$ 構成一個 $[0,1]$ 中的序列。因為 $[0,1]$ 是緊的，所以 ${a_n}$ 存在收斂子列： $a_{n_k} o a$ 。但是所有 $a_{n_k}$ 都是周期，所以所有 $a_{n_k}-a_{n_l}$ 也都是周期。收斂序列都是柯西的，所以 $a_{n_k}-a_{n_l}$ 可以任意小。

這個構造方法可以證明如果一個函數存在有理數和無理數的周期，那麼周期可以是無限小。

證明有誤，見評論。爭取試試修改下。

改好了，思路和原來是一樣的，依然還是比較弱的證明。

假設存在最小正周期，設為x，那麼對於任何整數a,b,顯然 $a+bx,api+bx$ 這些也都是正周期。

分x為有理數和無理數兩種情況進行討論。

如果x為無理數，我們可以取最大的正整數k,使得kx&<1

因為x是無理數，所以 $(k+1)x e 1$ ,因 $(k+1)x>1$

那麼 $(k+1)x-1$ 也是正周期並且小於x。

如果x是有理數，類似的取最大的正整數滿足 $kx<pi$

那麼 $(k+1)x-pi$ 比 $x$ 小並且也是正周期。

得證。

有空想想能不能構造個強點的和高票不一樣的證明。

根據評論季公子提醒：

設 $x_0$ 是任意正周期，我們可以重複上述步驟構造一連串的 $x_0,x_1,x_2,...$

這是一個單調有界數列，所以一定收斂。

因為收斂，所以兩項的差可以任意小。而這差也是滿足題目要求的正周期。

所以正周期的下確界為0。

不過沒有證明上述數列的下確界為0。這一條件太強了，不一定是對的。

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原答案：

只是滿足提問者要求證明不存在最小正周期其實是很容易的，不過像Richard Xu那樣證明下確界為0還是有點難。

我給一個比較弱的證明，是以前做卓里奇習題的半成品，不過剛好可以解決提問者的問題。這個證明比較好理解。

假設 $a=m-npi$ 是最小正周期，那麼 $2a,3a...$ 都是正周期。

取k為這樣的數：k是滿足ka&<π的最大整數。顯然這樣的數總是存在的。

那麼， $(k+1)a>pi$ ,這是因為 $(k+1)a$ 不可能等於 $pi$ (無理數和有理數不可能相等)。

而後取 $b=(k+1)a-pi$ ,顯然大於0且比 $a$ 小。

於是沒有最小正周期。

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有沒有人能改進我的思路，證明下確界是0啊。TAT

證明:反證法。假設存在最小正周期為c，則由最小正周期的性質易知:1=m*c;pi=n*c (m,n都為正整數) 得出1/m=pi/n 可推得n=m*pi 因為pi為無理數，顯然，整數乘以無理數必為無理數，產生整數與無理數的矛盾。所以不存在最最小正周期。

大概是nπ的fractional part在［0,1］中稠密吧

審題花了大半天，發現自己不會做。「最小」「正」，難住了

我只是從這個問題又想到一個問題。

如下：是否存在這樣一個既以某個有理數為周期又以某個無理數為周期的函數，如果有，請舉例，並求出這個函數的最小正周期。

沒看懂題目中的關於不為常函數的證明。

這裡可以直接寫：顯然不為常函數，因為常函數沒有最小周期。

1和 $pi$ 代數無關

定理:你在網上尋找1個複雜度為N的問題的答案，總有一些人給出的答案一定會產生n&>=2個複雜度大於N的問題。

&<=&>

總有一些人用更多未知變數去解釋你的問題。

&<=&>

網上總些有人愛裝逼。

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