什麼樣的冪指數積分序列是以多項式級別的?

01-08

如題。
什麼樣的機制可以導致這個呢？除了差分方程。。
$|int_a^b f(x)^n dx/c|sim n^{-k}$

具體的:
$int_0^{pi} ((x-cos xcdot sin x)/pi)^n sin^kx dx sim n^{-(k+1)/3}$

謝邀。我們首先簡化問題，設這個函數是連續而且是正的。

必要條件：由於 $max_{xin [a,b]}|f|=lim_{n oinfty}sqrt[n]{int_a^b f(x)^ndx}$ ,如果設 $M:=max_{xin [a,b]}|f(x)|$ ,由於 $sqrt[n]{n^{-k}} o 1(n oinfty)$ , 那麼根據原來的條件，所以 $M=1$ . 也就說 $f(x)$ 的最大值必須是1. 否則一定是指數增長階。

一個充分條件：定義分布函數 $d_f(lambda):=mu{x;f(x)>lambda}$ ,也就說集合 ${x;f(x)>lambda}$ 的勒貝格度量。根據以上必要性我們知道如果 $t>1,$ 那麼我們就有 $d_f(t)=0$

於是，我們有

$int_a^b f(x)^ndx=int_0^infty mu{f(x)^n>lambda}dlambda=nint_0^infty t^{n-1} mu{f(x)>t} dt=nint_0^1 t^{n-1}d_f(t)dt$

這個問題和貝塔函數就很接近了，不難發現

$lim_{t o 1}d_f(t)=0$ ,我們不妨設 $d_f(t)=C(1-t)^{m-1}$ (其實只要局部表現表達這樣即可),於是我們根據貝塔函數_百度百科的性質，在這個情況下這個積分的值等於

$frac{nGamma(n)Gamma(m)}{Gamma(n+m)}$ ,於是問題就是這個特殊函數的性質了,顯然這個是多項式級別的收斂。特別的，如果 $mgeq 2$ ,而且是整數，那麼我們剛好有：

$frac{nGamma(n)Gamma(m)}{Gamma(n+m)}=frac{Gamma(m)}{(n+m-1)cdots (n+1)}sim frac{1}{n^{m-1}}$ 總結：如果分布函數 $lim_{t o 1}d_f(t)sim (1-t)^{m-1}$ ,那麼我們就有 $int_a^b f(x)^ndxsim frac{1}{n^{m-1}}$ .

我相信更佳具體的討論應該圍繞著分布函數在1的衰減速度決定。我相信利用調和分析工具可以得到一個本性的刻畫。