accidental 和 symmetry-enforced 是否都受到拓撲保護？

看拓撲材料的文章，會看到accidental ， symmetry-enforced 來描述材料的一些性質，這兩者是否都受拓撲保護？Bi2Se3就是accidential?

首先解釋一下拓撲保護和對稱性保護：

拓撲量是描述整個流形空間的一個數學量。因此拓撲態是一個整體態，局域的改變並不會影響整體性質。 然而流形空間是可以有對稱性的，在對稱性下，流形空間可以劈裂成子流形空間，子流形空間之間由對稱性來連接。在這個有對稱性結構的流形空間中，也一樣可以定義拓撲數。然而這個拓撲數就和對稱性掛上勾了。 如果沒了這個對稱性，那麼這個拓撲數就不能被定義。所以邏輯是這樣子的：拓撲保護可以不依賴於對稱性；然而如果這個拓撲數是在對稱性下定義出來的，那麼這個拓撲保護是對稱性依賴的。

因此拓撲保護分為兩類，一類是不依賴於任何對稱性的，一類是依賴於對稱性的。教科書中常見的量子霍爾效應以及最新發現的量子反常霍爾效應都屬於這一類，當然Weyl 半金屬的出現也可以不需要任何對稱性。 其它諸如拓撲絕緣體，Dirac 半金屬等都是在特定對稱性下受拓撲保護的。

如果你有一個新的物質態，首先問自己，是不是受對稱性保護的，然後再問自己是不是有拓撲非平庸的拓撲數。

有了上面的討論，題主提到的accidental 和symmetry-enforced概念就比較好理解了。以Bi2Se3舉例子，Bi2Se3是強的Z2拓撲絕緣體。Z2數是在時間反演對稱性下定義出來的，因此我們可以說Bi2Se3的Z2拓撲性是受時間反演所保護的，如果破壞了時間反演，那麼這個Z2拓撲就會被破壞。 然而如果時間反演對稱性沒有被破壞，那麼接下來的一些如表面態性質就是受拓撲保護了。 但是你說是不是有了時間反演，Bi2Se3就一定是拓撲絕緣體，那麼肯定是不對的。從這個角度上來看，Bi2Se3會成為拓撲絕緣體，純粹是偶然的（accidental）。

那有沒有在某個對稱性下就一定會出現某些拓撲態的呢，答案是肯定的。 最簡單的一個例子就是在時間反演和空間反演同時存在的以及考慮自旋簡併度的時候，所有能帶都是偶數重簡併的。從Nodal line上的定義來說，這就是最簡單的nodal line。

還有然而，上一段說的是在整個能帶空間中。但是費米面附近會出現什麼特徵，就很難說了。 雖然有不少研究，通過對稱性和電子總數的分析，可以大致知道這個體系是不是金屬，甚至能預言出是否為拓撲非平庸，但是實際操作中就會發現，要找到一個理想的拓撲非平庸的材料是非常艱難的。