如何區分正則分布和巨正則分布？

01-08

學過統計物理，還在學生物物理，就是不能理解如何區分正則系統和巨正則系統，我大體上知道有熱浴的是巨正則，但是具體到某一個問題上來說的時候，往往找不到熱浴啊，一個給定的體系用任何一個系綜來解釋都是一樣的嗎？（老師跟我說任何自由能本質上都是一樣的，某一個給定的體系，用不同的自由能最後算出來的也一定是同樣的平衡狀態）。我不能理解啊，希望有人能給解答一下，謝謝啦！

上面回答問題的人完全不懂系綜，瞎說一氣。

對於一個給定的系統，無論用什麼系綜算得到的結果都是一樣的，原因是在熱力學極限下系統的邊界效應可以忽略，系統的性質由大量粒子數決定。對於實際上粒子數守恆的系統，用巨正則系綜算得到的結果也是一樣的。

根據具體問題選擇什麼樣的系綜是看數學上選擇什麼樣的系綜簡單。巨正則系綜算配分函數雖然要對粒子數求和，但有的時候對粒子數求和可以讓能級上粒子數的變化獨立，配分函數可以化為級數，求和反而變得簡單。這也是為什麼量子統計中我們更多用巨正則系綜。

當然對於小的系統兩種系綜算出來不一樣，因為小的系統漲落不趨於零。不過大部分情況下我們不會遇到這樣的系統。

熱浴通常更多的意味著交換熱量，而不是交換物質，正則分布和巨正則區別的關鍵不是「熱浴」。

從頭來講這個問題，可以這樣看：

微正則分布面對的是孤立系統（能量固定）。
日常我們見到的許多系統不是孤立系統，而是溫度固定這樣的系統，因此有了正則分布（溫度、體積固定、粒子數固定）。固定一個體系的溫度，這個體系的能量就已經可能發生改變，這時候就已經會需要引入熱浴了。
有的物理問題就是需要討論粒子數的漲落，此時我們並不希望有固定的粒子數，而是把體系的化學勢看成是固定的，這時候就是巨正則系綜。

一個給定的體系，用各種系綜來解釋都是一樣的，但是問題是你要找到與某種系綜真正對應的體系。例如討論一個吸附問題：

如果以被吸附在固體表面的粒子們為一個系統，因為這些粒子的數目是在變化的，這時候應該用巨正則系綜；
如果把吸附在固體表面的粒子們和外界環境中的其它氣體粒子看成一個體積更大的系統，這時粒子數守恆，於是就可以用正則系綜。

所謂的等價性，就是指這兩種處理的方法得到的結果應該是一樣的，兩個方法實際上選擇了不一樣的系統。在具體的問題中，確實找不到熱浴，因此我們通常用正則系綜，而不再用微正則系綜；因為體系可能跟更大的環境交換粒子，因此我們更喜歡用巨正則系綜。