如何理解拓撲糾纏熵？

01-08

本人目前大三物理系學生，跟導師做了拓撲糾纏熵和量子自旋液體的本科科研。但是老師在課上講的拓撲序，拓撲糾纏熵等概念太抽象，我沒有理解的很清楚，希望各位大大能講解一下。

一個圖像化的理解是這樣的：如果有一碗麵條，麵條挺長的，而且是圈（無頭無尾的）纏在一起，我現在隨便拿一個勺子將一部分弄出來，那麵條會掉，而且斷口的數量一定是偶數，2，4，6，8，10……這樣就造成部分與剩餘部分的Entanglement spectrum的最大本徵值一定是雙重簡併的。這樣算entropy在n-&>inf的情下（只由dominant eigenvalue決定），EE自然會一直帶一個ln2（相比於非簡併情況）。

試著找一個最簡單的toy model比如toric code入手。可以手算的一個最簡單的Z2 spin liquid：

兩個方向的Wilson Loop的奇偶性決定了topological sector，幫助理解一下Topological order 與基態簡併度這樣的概念。

Entanglement entropy在這個模型中是常數ln2，這個模型本身關聯長度是0，所以這個EE是不隨尺度變化的。

可以找到一點直觀感覺。

關於Topological order這個概念，大家用得有點亂。特別對於Symmetry protected topological order算不算是topological order.各個流派說法不一。

SPT最簡單的可以手算的例子就是aklt chain.

EE本身只能反映entanglement spectrum 的degeneracy，既不充分也不必要。（對於Z2 SL 這樣的是必要的）

2015-12-04

所謂拓樸的意思就是說，我們會覺得馬克杯跟甜甜圈的形狀好像差很多，但它們在拓樸上是一樣的，因為它們都只有一個洞而已，所以在做一系列的實驗之
後就可以把馬克杯形變成甜甜圈。在物理上的概念就是說在物理狀態下，馬克杯跟甜甜圈細緻的形狀沒有什麼關係，只有跟拓樸有關係，就是說它形狀到底幾個洞，或是像球一樣沒有洞，我們可以隨便揉它捏它，它還是同一個物理狀態。如果我們做一個量子計算機的量子態可以隨便讓人揉、捏都不變，它就不會受到外界的干擾。所以怎麼樣利用這個很奇特的性質來做量子計算機，是一個很重要的想法。最近在實驗跟理論上都發現有一種物質叫拓樸絕緣體有類似這樣的特性，如果我們將來可以更細緻地研究這個東西製作量子計算機，它的可能性就會從原本預期的三十年縮短成十幾年。

在凝聚態物理中，材料中原子和電子的不同構型導致了不同的序，由此產生了材料的各種豐富性質。Landau 發展了一套非常一般的對稱性破缺理論來描述這些不同的序。他發現材料中不同的序實際對應於不同的對稱性。當構型的對稱性發生變化時，就會發生相應的相變。雖然 Landau的對稱性破缺理論是非常有用的，但是它不能應用於拓撲量子態——一種由於量子效應所導致的新的電子態。這種量子態是與某些拓撲性質相聯繫的。拓撲序發生變時，拓撲量子態也相應變化，但是這些不同的拓撲序的對稱性是完全相同的。拓撲，這個本來主要用於數學的辭彙，現在已經開始用於描述和分類材料的導電結構，比如拓撲絕緣體、
拓撲半導體、拓撲超導體。拓撲最重要的一個性質是局部形變下的不變性，用物理的語言，即對於環境微擾的不敏感性。拓撲序（Topological
Order）作為第一類拓撲量子態，它的發現和認識大大拓寬了人們對物態的認識。拓撲序具有奇特的拓撲屬性：拓撲簡併、手征邊緣態、分數統計等。由於所有元激發都有能隙，拓撲序具有穩定的物理性質。分數量子霍爾效應是凝聚態物理中發現的第一種拓撲序。但由於這種效應需要滿足強磁場和低溫這兩個條件，不利於推廣應用。直到 2005 年，人們才發現不需要強磁場和低溫條件，僅僅依靠任何材料都具有的自旋軌道耦合效應，就可以實現類似於量子霍爾效應中的電子態，即量子自旋霍爾效應態或拓撲絕緣體態。

量子力學是一個微觀、看不到的東西，比如說我想知道電子是在什麼時候運動的，我通常沒辦法很精確地描述它。大家可能有聽過「測不準原理」，就是說我如果要看一個電子在哪裡是做不到的，因為我們要看它的時候它就被我們干擾，運動行為就會改變。「薛丁格的貓」告訴我們，如果看得到的世界跟看不到的世界再跟貓的死活連在一起就會變得很奇怪，就是如果我們不打開箱子，貓有可能是死的也有可能是活的，事實上，這兩種狀態都有可能發生。這種有趣的現象，薛丁格把它叫做「量子糾纏」。這整個系統也就是量子力學有趣的地方，如果我們沒有去觀察它，它有可能處在這種狀態也有可能處在另一種狀態。根據基本的量子力學的說法，貓的生死狀態是沒辦法決定的。在一般我們熟悉的古典力學裡，這事情不會發生，貓是生是死，一檢驗馬上就知道。但量子力學有趣的地方就是無法做檢驗，因為一旦檢驗了，就會破壞這個系統的狀態。所以從 1935 年之後，量子力學有個很基本的問題沒有解決，直到今天，我們還是沒有辦法完全了解量子糾纏。

量子阻挫是凝聚態理論研究的一個基本問題，這個問題之所以值得研究，是因為量子阻挫系統中存在一種新的量子態——量子自旋液體態，它們具有豐富的拓撲量子序，可能是莫特絕緣體真正的基態。如果能從實驗上找到這種新的量子態，不僅對量子阻挫本身的研究具有重要意義，而且對於高溫超導機理的研究也會有很大的幫助。但是，量子阻挫問題理論研究非常困難：一是在量子阻挫系統中，量子漲落很強，並且存在多種有序態相的競爭，解析研究很困難；二是對於這類系統，量子蒙特卡羅方法存在負符號問題，密度矩陣重正化群及其他計算方法也都存在許多問題，結果的可靠性不能保證。用張量重正化群方法解決量子阻挫問題，這是張量重正化群研究的一個很重要的目標，但很長一段時間一直沒有任何進展。最近，向濤研究組與中國人民大學 Bruce Normand 教授合作發現，造成這個問題的原因，是因為過去所用的張量乘積態波函數只是強調兩粒子之間的量子糾纏，而在一個量子阻挫系統中，例如在 Kagome 格子系統中，在考慮多粒子之間的相互作用之後，這些兩粒子之間的量子糾纏相互抵消，真正起作用的是三體或三體以上的量子糾纏效應。他們下一步就是希望通過增加保留的狀態數，對關聯函數和拓撲糾纏熵進行系統的計算，澄清 Kagome　海森堡模型是否存在量子自旋液體這個爭論了二十多年的問題。

哪甚麼是糾纏熵呢？糾纏熵的基本概念非常簡單，就是量子層面上對「無知」的一種度量。我們知道，熱熵度量的是由粗粒化 (
Coarse Graining )帶來的「無知」，也就是說我們假設只知道一些宏觀的熱力學量，而對微觀狀態一無所知，則可以得到一個熵。量子層面，體現「無知」的是對
Hilbert 空間的某些子空間進行無差別求和。所以，糾纏熵是 Hilbert 空間的子空間的一個性質。細節你可以參考 @Minglei
Xiao 的說明。實際上，糾纏熵是指兩個相互糾纏的系統的總熵，減去二者的熵之和。如果二者沒有任何聯繫，很顯然熵具有疊加性，糾纏熵為 0，但是如果這兩個系統之間有聯繫，則總熵小於分熵之和。謝謝@重劍時代的補充說明。

給這個郵箱發郵件問吧：

[email protected]