現在的物理學怎樣解釋超流體液氦的粘度在毛細流動與整體流動中完全不同？

01-08

這個視頻——超流體液氦的奇妙特性（50年前的科普視頻）——介紹了蒂薩和朗道提出的二流體模型，用來解釋液氦II超流體在不同實驗中體現出不同粘度的奇怪現象。視頻末尾又說這個模型是有局限的，實際上液氦II並不是真的由兩種成分構成，而是一個整體，要用量子力學來解釋。考慮到這是50年前的物理學，那麼現在的物理學對此現象有更進一步的解釋嗎？

寒假讀了一些關於超流的書和文章, 正好在這兒做個總結.

首先承認這個視頻里的很多現象我也不懂怎麼解釋, 但是在管道流動中 He-4 超流體沒有耗散還是相對比較容易說清楚而且不需要二流體模型的. 至於其他現象的解釋, 希望有其他的高手幫忙.

先說說 BEC

感謝 @王少莘和 @andrew shen指出超流也是一種"凝聚", 所以下面這段有問題, 改掉了.

我又去翻了翻書, 確實有提到90年代實現的是"直接"觀測到 BEC 現象, 之前的 BCS 超導和超流現象都是一些"indirect manifestation of condensed states".

不過無相互作用的 BEC 和超流還是有很大區別的.

=========以下討論基於零溫==========

超流相變, 自發對稱性破缺和低能有效動力學

自由玻色系統的哈密頓量是粒子動能和化學勢的和

$H = sum_kleft(frac{k^2}{2m}-mu ight)a^dagger_ka_k$

通過相干態的路徑積分以及產生湮滅算符的傅里葉變換, 這個系統的路徑積分可以寫成實空間里產生湮滅算符的積分, 為簡便, 把場 $a(x)$ 記成 $phi(x)$ . 這是一種我們更習慣的場論記號. 注意, 這時的場表示實空間各點上的相干態. 此時, 路徑積分是[1]

$Z = int mathcal{D}^2phiexp{left{iint d^dxdtleft[frac{i}{2}(phi^*partial_t phi-phipartial_t phi^*)-frac{1}{2m}partial_xphi^*partial_xphi+muphi^*phi ight] ight}}$

因此對於這個自由玻色系統, 相應的拉氏量為(這個拉氏量就是 Klein-Gordon 方程的非相對論近似[2])

$mathcal{L}=frac{i}{2}(phi^*partial_t phi-phipartial_t phi^*)-frac{1}{2m}partial_xphi^*partial_xphi+mu|phi|^2$

為了構造一個合理的液體的模型, 我們可以加入一個相互作用項. 為簡便, 可以設相互作用為一個 $delta$ 勢, $V(x_1-x_2) = V_0 delta(x_1-x_2)$ , 在二次量子化的語境裡面, 這項會為上面的拉格朗日量加上一個 $phi^4$ 的相互作用, 即我們討論的模型具有以下的形式:

$mathcal{L}=frac{i}{2}(phi^*partial_t phi-phipartial_t phi^*)-frac{1}{2m}partial_xphi^*partial_xphi+mu|phi|^2 -frac{V_0}{2}|phi|^4$

這看起來像是高能場論書裡面最喜歡的玩具模型標量場自作用. 但是我們不會用它去算散射截面, 而是去討論一些更有意思的內容, 從超流這個例子, 我們能看出很多在高能場論中不會重點討論的量子場論的方法和思想.

首先看看這個東西對應的哈密頓量(事實上是熱力學勢)是什麼? 做個 Legendre 變換, 得到

$Omega = int d^dxleft(frac{1}{2m}partial_xphi^*partial_xphi-mu|phi|^2 +frac{V_0}{2}|phi|^4 ight)$

但是怎麼算這個東西呢? 偉大的物理學家做不合理的近似, 如果我們暫時不考慮全部的空間上和時間上的漲落, 把它當成一個純粹的經典場論, 僅僅考慮場的絕對值, 看看這個系統的基態有什麼性質. 然後再把量子漲落加回去, 看看這時的玻色場會有什麼樣的集體行為. 這時就可以引出20世紀物理學中一個非常重要的思想----自發對稱性破缺. 如果採用了如上關於忽略漲落的想法, 則熱力學勢

${{Omega_0}over {mathcal{V}} }=-mu |phi|^2+frac{V_0}{2}|phi|^4$

隨著系統的化學勢不斷變化, 我們的熱力學勢的基態也會發生變化. 當化學勢小於零時, 基態下 $phi_0 = 0$ , 勢能如圖所示:

隨著化學勢不斷上升到大於零(注意無相互作用玻色氣體的化學勢是不能大於零的. 玻色分布的前提是可以做近獨立粒子近似, 但是在液體中粒子間相互作用強, 難以定義單粒子態), 系統的基態處於 $phi_0 = sqrt{frac{mu}{V_0}}e^{i heta}$ , 勢能如圖所示:

注意, 有一個凹成一圈的坑, 都是等價的基態. 此時回去檢驗一下, 我們的原始拉格朗日量是具有U(1)不變性的. 但是顯然每一個基態都不具有這個性質. 這時, 系統就發生了自發對稱性破缺. 也就是發生了一個相變. (以下為科普: 自發對稱性破缺是一個非常重要的物理學概念, 不光在凝聚態物理學中用於描述超流, 包括鐵磁性, BCS 超導電性都可以有自發對稱性破缺給出. 此外, BCS 超導中的邁斯納效應和高能物理中的希格斯機制是類似的: 希格斯機製為一部分基本粒子賦予質量, 而超導的自發對稱性破缺為超導體中的光子賦予質量. )在我們的這個例子里, 化學勢大於零的相就是大家津津樂道的超流相.

對於超流相, Nambu-Goldstone 定理 說明了每一個具有對稱性的系統, 在對稱性破缺的相中都會產生無能隙的激發. 這被稱為 Nambu-Goldstone Modes.

事實上, 超流所對應的 Nambu-Goldstone Mode 就是在上圖中的那個坑裡面轉圈. 為了得到這個激發, 我們會採用一種稱之為有效場論的方法, 這種方法等價於解耦合起來的場的運動方程, 但是採用這種方法更容易看出一些參數在有效場論下是如何被修正的.

============無聊的計算細節=============

首先我們分開討論 Boson 場的密度 $ho=phi^*phi$ 和相位 $heta$ , 場算符寫成密度和相位的表示形式 $phi = sqrt{ ho_0+delta phi}e^{i heta}$ , 這樣的話作用量可以被改造成

$S = int d^dxdtleft[-( ho_0+delta ho)partial_t heta-frac{ ho_0}{2m}(partial_x heta)^2-frac{1}{8m ho_0}(partial_xdelta ho)^2-frac{V_0}{2}delta ho^2 ight]$

寫出路徑積分

$Z = int mathcal{D}delta homathcal{D} hetaexp left{i int d^dxdtleft[-( ho_0+delta ho)partial_t heta-frac{ ho_0}{2m}(partial_x heta)^2-frac{1}{8m ho_0}(partial_xdelta ho)^2-frac{V_0}{2}delta ho^2 ight] ight}$

並把我們暫時不感興趣的, 對應著高能激發的 $delta ho$ 積掉. 這就是有效理論的基本思路:

$Z = int mathcal{D} heta expleft{i int d^dxdt left[-frac{ ho_0}{2m}(partial_x heta)^2 + frac{1}{2}partial_t heta frac{1}{V_0 -partial_x^2/4m ho_0}partial_t heta ight] ight}$

會得到一個只包含了相位的拉氏量. 注意分母上出現了導數, 所以我們先假設相位隨空間是緩變的( 也就是所謂的低能有效 ), 然後把那個導數略去( 同時這個條件也給出了低能有效的一個限制 $V_0 sim frac{xi^{-2}}{4m ho_0}$ , 其中 $xi$ 是一個特徵長度. 當我們討論尺度小於 $xi$ 或者動量高於 $Lambda = xi^{-1}$ 的物理時, 一定要注意此時的低能有效理論已經失效了, 需要考慮到更高能的激發.)

============無聊的計算細節=============

此時的有效拉氏量給出的正是一個無能隙的, 線性色散的無質量, 無相互作用的激發模式:

$mathcal{L}_{mathrm{eff}} = frac{1}{2V_0}(partial_t heta)^2 -frac{ ho_0}{2m}(partial_x heta)^2$

相應的, 激發模式為 $omega = sqrt{frac{V_0 ho_0}{m}}|mathbf{k}|$ . 這裡會出現一個特徵速度 $v= sqrt{frac{V_0 ho_0}{m}}$ , 是液氦中低頻聲子的聲速. 這就是在對稱性破缺的相中出現的 Nambu-Goldstone Modes. 同時我們發現, 已經把一個一開始有著複雜相互作用的玻色子系統化成了一個無相互作用的聲子系統. (當我們考慮到不同形式的相互作用和更高能的激發時, 還會出現 "roton", 對應著群速度為零的聲子)

文小剛老師認為, 我們沒有理由把所謂的"基本粒子"當成粒子. 萬一我們所謂的光子就是一個更小尺度上(或者說, 更高的能量上)的完全不同的物理機制湧現(emergence)出來的聲子呢?

臨界維數和長程序

在考慮了量子漲落的情況下, 當空間維數低於某個值時, 量子漲落會破壞系統的長程序. 對於我們這個系統, 1 維下的長程序會被破壞, 也是就是說在本應發生對稱性破缺的相中沒有發生對稱性破缺. 但是二維下的長程序在低能激發的情況下還是被保護的. 所謂長程序, 就是指兩點之間場算符編時乘積的量子期望. 如果關聯函數在距離趨於無窮大時為一個有限值, 說明空間上各點的相位漲落是關聯的, 長程關聯正是對稱性破缺的特徵. 計算表明, 在 1+1 維時空中, 長程序為

$langle phi^dagger(x,t)phi(0,0) angle = frac{mu}{V_0}left(frac{|x^2-v^2t^2|}{xi^2} ight)^{-V_0/4pi v}$

當距離趨於無窮大時長程序變為零. 注意式子中出現了有效理論的截斷尺度 $xi$ .

在 2+1 維時空中, 距離趨於無窮時的長程序為

$langle phi^dagger(x,t)phi(0,0) angle = frac{mu}{V_0}e^{-frac{V_0}{4pi v xi}} eq 0$

因此, 2 是我們所討論的這個模型的超流的臨界維數(Crossover Dimension). 低於這個維數不會發生自發對稱性破缺( 長程關聯會被量子漲落破壞 ).

超流性和超導性的起源

超導性起源於 U(1) 不變的量子場可以構造協變導數和U(1)規範場進行耦合, 進而給出London 方程, 但是和我們要談的超流的內容關係不大. 對於超流性, 和自由聲子系統的線性色散有著直接的關係. 下圖來自於 Altland Simons 所著的 Condensed Matter Field Theory [3] 一書.

如圖所示, 設想超流相的液體完全處於基態(低溫), 做一個 Boost 操作, 或者說讓液體的隨體坐標系相對於實驗室系以速度 $mathbf{V}$ 運動. 這時從實驗室系來看, 系統的能量變成

$E=E_{mathrm{ground}}+frac{Nmmathbf{V}^2}{2}$

如果在隨著流體的參考系中產生了一個 $epsilon(mathbf{k}) = v|mathbf{k}|$ 的激發, 則在實驗室參考系中的能量通過伽利略變換得到能量

$E= E_{mathrm{ground}}+ frac{Nmmathbf{V}^2}{2}+epsilon(mathbf{k})+mathbf{k}cdotmathbf{V}$

我們考慮是否有可能有聲子激發態產生. 注意到總能量是不能增大的, 所以說需要滿足條件就是上面式子中的後兩項不能大於零. 容易驗證, 要想產生激發態的聲子, 需要滿足

$epsilon(mathbf{k})<|mathbf{k}||mathbf{V}|$

顯然, 當漂移速度 $|mathbf{V}|$ 小於聲速 $v$ 的時候, 這個條件是不會被滿足的.

耗散過程, 就是系統能量向內部自由度轉移的過程, 對於這個體系, 聲子模式就是內部自由度. 可見, 如果滿足了"漂移速度 $|mathbf{V}|$ 小於聲速 $v$ "這個條件, 能量就耗散不了; 作為對比, 如果是無相互作用的自由玻色子, 色散關係滿足 $epsilon(mathbf{k})=frac{mathbf{k}^2}{2m}$ , 無論漂移速度是多大, 顯然總能存在一個 $mathbf{k}$ 使得上述不等式成立, 也就是會激發出聲子造成耗散. 因此問題的關鍵就是超流相中存在著線性的元激發.

關於聲子的色散的實驗測量

液氦中的聲子激發譜可以通過非彈性中子散射實驗進行測量. Ref [4] 給出了測量到的聲子譜如下圖所示.

確實在低頻區能觀測到線性的色散, 此外在高能區也能觀測到 Roton 的存在.

總結

我們的大致思路是: 相互作用波色系統-&>對稱性自發破缺和有效場論給出一個無相互作用的, 線性色散的聲子系統-&>聲子系統的伽利略 Boost 解釋了超流性(流動的時候沒有耗散, 沒有摩擦)的起源.

Reference:

[1] Xiao-Gang Wen, Quantum Field Theory of Many-Body System

[2] A. Zee, Quantum Field Theory in A Nutshell

[3] Altland Simons, Condensed Matter Field Theory

[4] Phys. Rev. 121, 1266-1274

雖然這是50年前的科普視頻, 但超流也是50年前的物理.

二流體模型作為一個唯象理論是很成功的, 直到今天我們都在用這個模型理解冷原子物理中的某些現象. Tisza 大約是在1938年左右提出的二流體模型. 這個模型最開始提出的時候基本基於題主視頻中所說的實驗現象, 而幾乎沒有涉及超流的微觀機制, 即: 沒有解釋為什麼液氦會有所謂 superfluid component 和 normal component. 但在視頻拍攝時(1963年), 我認為人們對超流的微觀機制已經了解得比較透徹了. (對於理解弱相互作用玻色子非常重要的 Bogoliubov 理論提出於1947年. 解釋超導微觀機制的 BCS 理論提出於1957年. 可以粗略地認為 BCS 超導是某種更複雜的超流. )

在這個視頻的結尾只是說我們不能字面上理解二流體模型, 因為在空間上我們並不能區分出 superfluid component 和 normal component: 你不能拿一個 He-4 原子出來, 問我這個原子屬於哪個 component. 對兩個不同 component 的區分是在動量上的. 已有的一個長篇回答說的是這樣一件事情: 零溫時排斥相互作用的玻色子(He-4)會發生凝聚, 破缺 U(1) 對稱性, 從而根據 Goldstone 定理會有線性色散的激發. 超流的 Landau 判據表明線性色散的激發在速度小於臨界速度時會有超流. 這部分貢獻二流體模型中的 superfluid component. 但並非所有 He-4 都屬於 superfluid component, 因為體系中總是存在一些動量非零的激發, 這樣可我們可以人為將粒子流(即動量密度)分成兩個部分 $j= ho v_s+j_{mathrm{ex}}= ho_s v_s+ ho_n v_n$ , 式中的 $ho_n v_n$ 就是 normal component 的貢獻. 具體說來, normal component 的來源有兩個:

在有限溫的情形, 溫度可以激發一系列不同動量的准粒子. 這部分被稱為 thermal depletion.
就算在絕對零度, 由於相互作用的存在, 玻色子也不是完全凝聚的, 這部分被稱為 quantum depletion.

可以通過統計力學的方法對不同的玻色子模型計算得到 $j_{mathrm{ex}}$ 和 $ho_n$ 等物理量, 不在此贅述. 這樣就從微觀上解釋了二流體模型.

對於 He-4 超流, 由於相互作用很強, quantum depletion 佔主導(90%). 對於鹼金屬原子的超流, 相互作用較弱, thermal depletion 佔主導(99%). 這兩種不同的情況會導致超流中的 first sound 和 second sound 聲速的區別, 可以被實驗驗證. 值得一提的是, 鹼金屬原子由於相互作用較弱, 直接測量 second sound 非常困難. 直到近些年人們利用鹼金屬費米原子的 Feshbach resonance, 將相互作用調整得很強, 才在鹼金屬原子中測量到 second sound. 不過那完全是另外一個故事了.

對於毛細流動當中超流本身的產生機制，樓上兩個答案已經說的很好了。對於宏觀整體流動中為什麼會表現出粘性，個人懷疑還可能與經典的Navier-Stokes方程和無粘Euler方程的數學性質有關。經典的理想化無粘流體是啥東西、會不會產生阻力，至今連定義都成問題。

經典的Navier-Stokes方程和Euler方程看起來簡單實際上很BUG，解的存在性、唯一性、光滑性、穩定性在數學上都有疑問。人類至今對這兩個方程的解（包括精確解和近似解）仍然依賴物理實驗觀測給出的附加條件。

按照勢流理論，在無粘Euler方程流體當中運動的物體不會產生旋渦、不會受力。而Navier-Stokes方程在粘性項無限趨近於0、雷諾數趨向於無窮大的時候，解並不收斂到無粘Euler方程，反倒會出現湍流：尺度越來越細小的湍流旋渦級聯。在現實世界裡，級聯會受到粘性限制。在計算流體力學數值解里，級聯會進行到在最小網格尺度上被離散化截斷（和遇到保持計算穩定所必需的數值粘性）為止，或者發散到程序崩潰。所以在純理論上，這個問題沒有定論。

https://www.zhihu.com/question/36656792

而在液氦里，渦量也會量子化，事情更麻煩了，量子湍流是什麼概念？

Quantum vortex

本人並不懂量子力學，所以不知道這樣的模型該怎麼建立和求解。

另外，經典統計物理從分子尺度到連續介質尺度需要一堆近似，即Chapman-Enskog展開，才能得到連續介質尺度的Navier-Stokes方程。然後湍流的統計尺度又比連續介質尺度大一個量級。物理學界曾經寄希望於從分子尺度的模型經過統計物理推導出湍流，結果全部失敗。

80年代有人提出了一個對分子運動速度進行二值化的模型，格子氣自動機，LGCA

Lattice gas automaton

然後這個模型曾被寄予希望像Ising模型解決相變一樣解決湍流問題。

The big dream，LGCA : Turbulence = Ising model : Phase transition。

最終The big dream 變成The big illusion，只留下幾種勉強能用的計算流體力學演算法。

評論區中提到了重整化群湍流模型，實際也只能達到普通的唯象湍流模型的性能。