求問物體從a位置到b位置，怎麼求其沿x y z軸的旋轉角度。？

01-09

以簡單三角形為例，平動＋旋轉，從A位置到B位置，怎麼求其沿x y z 軸的旋轉角度？
求大神指點。謝謝！

這是個特別典型的描述剛體運動+旋轉的問題。

描述的方法不唯一。我只提供一種我認為方便的描述方法。

把運動+旋轉分解成剛體中心在坐標系的平移，以及剛體繞中心的旋轉。

題主給的三角形的例子很好（很省事），設三角形的三個頂點分別是ABC，最方便的用來做其中心的點當然是重心

$P=frac{A+B+C}{3}$ (A、B、C和P都是xyz坐標系的三維向量)

剛體運動後頂點是 $A$ ，所以三角形中心的位移是

$P$

接下來說旋轉。

根據歐拉關於剛體轉動的歐拉定理，剛體在三維空間中的任意旋轉（單次旋轉、多次旋轉）的最終效果，都可以分解為剛體繞某個軸的一次旋轉。前面已經把剛體的運動拆成了中心位移和繞中心兩步。中心位移是整體運動，與剛體自身繞中心的旋轉無關（相當於地球繞太陽公轉）；旋轉和中心位移無關（相當於地球自轉），所以考慮旋轉時，就把坐標系建在剛體自身。為方便起見，另其中心P為坐標系原點，繞P點旋轉。題主問的繞x、y、z旋轉，不管怎麼轉，最後都等價於繞某個軸旋轉。

描述三維旋轉，有以下三種常見、常用、等價的方法：

四元數
軸、角
旋轉矩陣

我認為，軸、角是比較直觀的，所以這裡就只說軸、角。

根據歐拉定理，我們只要找到旋轉軸和繞旋轉軸轉過的角度就行了。

所謂旋轉軸，是一個單位矢量（我們用 $u$ 來表示，U是坐標系一點，u是P到U的矢量，也就是u=PU）。頂點A繞u旋轉了角度 $varphi$ （根據右手規則，拇指沿旋轉軸u，旋轉順著四根指頭），也就是說旋轉前後矢量積滿足：

$PA imes PA$ (PA、PA『和PU都是矢量）

剛體的「剛」就意味著，整體繞一個軸u旋轉 $varphi$ ，那麼所有點都繞u旋轉 $varphi$ .

所以有：

$varphi=arcsinleft(frac{vert PA imes PA$ ，以及

$u=PU=frac{PA imes PA$ .

計算出來了旋轉軸u和旋轉角 $varphi$ , 就可以用四元數來表示旋轉：

$q=cosfrac{varphi}{2}-sinfrac{varphi}{2}left( x_u i + y_u j + z_u k ight)$

（關於四元數，要注意約定，分為剛體旋轉四元數和坐標系旋轉四元數，四元數q與矢量r的乘法 $q^{-1}rq$ 表示旋轉矢量r，要看清楚約定的到底是 $q^{-1}rq$ 還是 $qrq^{-1}$ ，關係到上面式子中的正負號）

$x_u, y_u ext{和}z_u$ 分別是U的坐標分量，ijk是坐標矢量。

而有了四元數，就有旋轉矩陣了。有了旋轉矩陣，就知道繞x、y、z坐標軸各自旋轉了多少角度。這裡不寫了。題主可以作為練習題...

簡單小結一下，軸、角表述旋轉便於人類理解；四元數表述旋轉便於編程序；矩陣表示旋轉便於拆解為繞其他軸的旋轉。

我補充一個計算四元數的比較簡單的公式吧。

任何一個四元數可以看做一個標量部分 $s$ 和三維向量部分 $vec{v}$ 組成的，同樣的一個三維歐式空間的向量也可以看做標量部分為 $0$ 的四元數。

以向量 $vec{u}$ 為軸，將一個向量 $vec{v}$ 旋轉 $heta$ 角的旋轉公式為 $vec{v}^{$ ，其中 $q=cos( heta/2)+vec{u}sin( heta/2)$ 。

所以如果要求把單位向量 $vec{v}_1$ 旋轉到單位向量 $vec{v}_2$ 的朝向的話，注意夾角 $cos( heta)=vec{v}_1cdotvec{v}_2$ ，那麼

$cos( heta/2)=sqrt{frac{cos( heta)+1}{2}}=sqrt{frac{vec{v}_1cdotvec{v}_2+1}{2}}$

軸線法向量為 $vec{u}$ 那麼有 $vec{v}_1 imesvec{v}_2=vec{u}sin( heta)$ ，於是

$vec{u}sin( heta/2)=frac{vec{v}_1 imesvec{v}_2}{sin( heta)}sin( heta/2)=frac{vec{v}_1 imesvec{v}_2}{2cos( heta/2)}=frac{vec{v}_1 imesvec{v}_2}{sqrt{2(vec{v}_1cdotvec{v}_2)+1}}$

於是最終表示旋轉的四元數

$q=(sqrt{frac{vec{v}_1cdotvec{v}_2+1}{2}},frac{vec{v}_1 imesvec{v}_2}{sqrt{2(vec{v}_1cdotvec{v}_2)+1}})$